Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 7,5 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel aan met 20 tanden en een module van 3 mm. Vind de tangentiële kracht F_t op de tanden van het rondsel.

P = 7,5 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 1,1 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (50 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (60 tanden). Tandwiel C (18 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 97%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 1,1 kWn_in = 1440 rpmA = 50B = 60C = 18D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 30 mm en lengte 1 m; deel BC heeft diameter 25 mm en lengte 2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 5 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 2320 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 25 kgk = 150 kN/mc = 2320 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 20 kN/m en de onderste k₂ = 100 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: F_t = 2487 N

Tandwielgeometrie: de module m bepaalt de tandgrootte. Een tandwiel met N tanden heeft een steekcirkeldiameter d = m·N, twee ingrijpende tandwielen hebben dezelfde module, en hun hartafstand is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. De omtreksnelheid op de steekcirkel is v = π·d·n/60, en de tangentiële tandkracht volgt uit het koppel: F_t = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 3·20 = 60 mm

Tangentiële kracht

F_t = 2T/d = 2·74,6/0,06 = 2487 N

Antwoord

F_t = 2487 N

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 21,96 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1440·(50/60)·(18/48) = 450 rpm

ω_out = 2π·450/60 = 47,12 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/47,12 = 21,96 N·m

Antwoord

T_out = 21,96 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 130,4 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Antwoord

τ_max = 130,4 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 13,51 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/235619 = 13,51 MPa

Antwoord

τ_max = 13,51 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 68,01 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((70 − −40)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Antwoord

τ_max = 68,01 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 27,13 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 70 + 20·−0,1736 + −40·0,9848 = 27,13 MPa

Antwoord

σ_θ = 27,13 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 35,99 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/5,558 × 10⁻⁶ = 35986 N = 35,99 kN

Antwoord

P = 35,99 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 11,75 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·785398/1,021 × 10⁶ = 23077 N

Spanning

σ₂ = 23077/1963 = 11,75 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 11,75 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 7,996 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7,996 kN

Antwoord

P_cr = 7,996 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 197,4 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Antwoord

σ_cr = 197,4 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,599

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 2320/3873 = 0,599

Antwoord

ζ = 0,599

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 9,189 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/100 → k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16,67 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(16667/5) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Antwoord

f_n = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design