Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 100 mm met 960 rpm drijft via een riem met 2,5 % slip een schijf van 300 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 960 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (40 tanden) op de ingaande as, die met 960 rpm draait, tandwiel B (45 tanden) aan. Tandwiel C (25 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 960 rpmA = 40B = 45C = 25D = 80

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een axiale drukkracht van 70 kN samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 30 mmF = −70 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 50 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 500 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 80 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 3160 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 500 kgk = 80 kN/mc = 3160 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 20 kN/m en k₂ = 100 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 312 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

960·100/300 = 320 rpm

Met slip

n₂ = 320·0,975 = 312 rpm

Antwoord

n₂ = 312 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 266,7 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 960·40/45 = 853,3 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 853,3·25/80 = 266,7 rpm

Antwoord

n_out = 266,7 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3,6 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,4 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·15708) = 0,1989 rad

φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Antwoord

φ = 11,4°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 28,97 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Antwoord

d = 28,97 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −66,26 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −60 − 50) = −132,5°

Hoek op het element

θ_p = −66,26°

Antwoord

θ_p = −66,26°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 3,471 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −70000/(π·30²/4) = −70000/706,9 = −99,03 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −49,51 MPa

R = √((−49,51)² + 18,86²) = 52,99 MPa

σ₁ = C + R = 3,471 MPa

σ₂ = C − R = −102,5 MPa

Antwoord

σ₁ = 3,471 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,546 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/100000 = 0,001019 = 1019 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001019·2500 mm = 2,546 mm

Antwoord

δ = 2,546 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 22,04 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·212058/408407 = 15577 N

Spanning

σ₂ = 15577/706,9 = 22,04 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 22,04 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 139,5 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Antwoord

P_cr = 139,5 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 179 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Antwoord

σ_cr = 179 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,2498

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·500) = 12649 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 3160/12649 = 0,2498

Antwoord

ζ = 0,2498

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 7,797 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 100 = 120 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(120000/50) = 48,99 rad/s

f_n = 48,99/(2π) = 7,797 Hz

Antwoord

f_n = 7,797 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design