Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 90 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 1,5 mm en een vertraging van 5 : 1. Hoeveel tanden N₂ moet het tandwiel hebben?

a = 90 mmm = 1,5 mmi = 5

N₂ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 4 kW met 1440 rpm drijft tandwiel A (24 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (60 tanden). Tandwiel C (25 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (48 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 96%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 4 kWn_in = 1440 rpmA = 24B = 60C = 25D = 48η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 30 mm en lengte 1,2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1800 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 250 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = −50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 40 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm 3 perioden later een piek van 6,4 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₃ = 6,4 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 40 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 30 kN/m en k₂ = 12 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₂ = 100

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/1,5 = 120

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 120/(1 + 5) = 20

N₂ = 5·20 = 100

Antwoord

N₂ = 100

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 117,3 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Uitgaand toerental

n_out = 1440·(24/60)·(25/48) = 300 rpm

ω_out = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 4000·0,96² = 3686 W

T_out = P_out/ω_out = 3686/31,42 = 117,3 N·m

Antwoord

T_out = 117,3 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 75,45 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Antwoord

τ_max = 75,45 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 4,938 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/966855 = 4,938 MPa

Antwoord

τ_max = 4,938 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 50,99 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 80)/2)² + −10²) = 50,99 MPa

Antwoord

τ_max = 50,99 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,863

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 10 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 77,08 MPa, σ₂ = −57,08 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 134,2 MPa

n = 250/134,2 = 1,863

Antwoord

n = 1,863

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04146 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·4006 = 5,788 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·300/5,788 × 10⁸ = 0,04146 mm

Antwoord

δ = 0,04146 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,834 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56,59·1000/200000 = 0,2829 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·1500/117000 = 2,551 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,834 mm

Antwoord

δ = 2,834 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 21,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN

Antwoord

P_cr = 21,7 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwoord

σ_cr = 12,34 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,06034

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(20/6,4) = 0,3798

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3798/√(39,48 + 0,1443) = 0,06034

Antwoord

ζ = 0,06034

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 42 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 12 = 42 kN/m

Antwoord

k_eq = 42 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design