Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een worm met 4 gang(en) draait met 1440 rpm en drijft een wormwiel met 48 tanden aan. Vind het toerental n_w van het wiel.

z = 4N_w = 48n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (45 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (24 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 16B = 45C = 18D = 24

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 60 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 400 N·m werkt in C, op 2,5 m van A en 3 m van B. Vind het reactiemoment T_A bij wand A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 2,5 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 35 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 200 kg aan een veer met een stijfheid van 80 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 200 kgk = 80 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 80 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 12 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_w = 120 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1440·4/48 = 120 rpm

Antwoord

n_w = 120 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 400 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·16/45 = 533,3 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 533,3·18/24 = 400 rpm

Antwoord

n_out = 400 rpm

totale overbrengingsverhouding = 3,75 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 8,768 °

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(26000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Antwoord

φ = 8,768°

4.Torsie van assen

Antwoord: T_A = 218,2 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·3/5,5 = 218,2 N·m

T_B = 400·2,5/5,5 = 181,8 N·m

Antwoord

T_A = 218,2 N·m

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 40,27 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 130 − 120) = 80,54°

Hoek op het element

θ_p = 40,27°

Antwoord

θ_p = 40,27°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 112,3 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 15 + 85·0,766 + −50·−0,6428 = 112,3 MPa

Antwoord

σ_θ = 112,3 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,671 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/200000 = 0,000557 = 557 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,000557·3000 mm = 1,671 mm

Antwoord

δ = 1,671 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 27 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 50000·345575/509200 = 33933 N

Spanning

σ₂ = 33933/1257 = 27 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 27 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 48,83 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Antwoord

P_cr = 48,83 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 1,079 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/12,5 = 800

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Antwoord

σ_cr = 1,079 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 2,546 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(80000/200) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3,183 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,183·√(1 − 0,6²) = 2,546 Hz

Antwoord

f_d = 2,546 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,949 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 50 + 12 = 62 kN/m

k_eq = 62·80/(62 + 80) = 34,93 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(34930/25) = 37,38 rad/s

f_n = 37,38/(2π) = 5,949 Hz

Antwoord

f_n = 5,949 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design