Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 100 mm met 1450 rpm drijft via een riem met 4 % slip een schijf van 300 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 120 mm en een schijf van 200 mm waarvan de hartafstand 1200 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 3 m draagt een wringend moment van 2000 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 2000 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 50 kW over bij 1450 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1000 mm en wanddikte 10 mm bevat gas met een overdruk van 0,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 35° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 0,5 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 55 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 100 kg aan een veer met een stijfheid van 200 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,45 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 100 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 50 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 464 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1450·100/300 = 483,3 rpm

Met slip

n₂ = 483,3·0,96 = 464 rpm

Antwoord

n₂ = 464 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 176,2 °

Riemhoek

asin(0,03333) = 1,91°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·1,91 = 176,2°

Antwoord

θ = 176,2°

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 90,59 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·3000/(26000·0,03491) = 6,611 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 90,59 mm

Antwoord

d = 90,59 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 55,68 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·50)) = 32,25 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 55,68 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(32,25, 55,68) = 55,68 mm

Antwoord

d = 55,68 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 53,55 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −20/68,01 = −0,2941, sin 2θ_s = −(−65)/68,01 = 0,9558

2θ_s = atan2(65, −20) = 107,1°

Hoek op het element

θ_s = 53,55°

controle: θ_s − θ_p = 53,55 − (−81,45) = 135°

Antwoord

θ_s = 53,55°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 20,89 MPa

Spanningen in de wand

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0,5·500/10 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 12,5·sin²35° + 25·cos²35° = 20,89 MPa

Antwoord

σ_n = 20,89 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 8,621 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/200000 = 0,002874 = 2874 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002874·3000 mm = 8,621 mm

Antwoord

δ = 8,621 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 44,12 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·439823/793252 = 55446 N

Spanning

σ₂ = 55446/1257 = 44,12 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 44,12 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,998 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/12000² = 4998 N = 4,998 kN

Antwoord

P_cr = 4,998 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 72,25 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,25 mm

Antwoord

d = 72,25 mm

Controle: de slankheid KL/r is 221,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 6,356 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(200000/100) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,45²) = 6,356 Hz

Antwoord

f_d = 6,356 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 15,92 Hz

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 50 = 100 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(100000/10) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Antwoord

f_n = 15,92 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design