Tandwielen en tandwieloverbrengingen
- Ingrijpende tandwielen
- n1·N1 = n2·N2
- Koppel
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Vermogen
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Meertraps overbrenging
- totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen
Machineontwerp: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische trillingen
- Eigenfrequentie
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Uit de statische doorbuiging
- ωn = √(g/δst)
- Kritische demping
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dempingsverhouding
- ζ = c/cc
- Gedempte eigenfrequentie
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logaritmisch decrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Veren parallel
- k = k1 + k2
- Veren in serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Oefenopgaven
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 100 mm met 1440 rpm. De spanning is 800 N in het trekkende deel en 320 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.
d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmT1 = 800 NT2 = 320 N
P = kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
Een open riem verbindt een aandrijvende schijf van 200 mm met 720 rpm met een schijf van 500 mm; de hartafstand is 800 mm. De wrijvingscoëfficiënt is 0,35 en de spanning in het trekkende deel mag niet meer dan 2000 N zijn. Bepaal het grootste vermogen P dat de riem kan overbrengen zonder te slippen, in kW (verwaarloos centrifugaaleffecten).
d1 = 200 mmn1 = 720 rpmd2 = 500 mmC = 800 mmμ = 0,35T1 = 2000 N
P = kW
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van aluminium met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 250 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.
T = 250 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Een massieve as van aluminium met diameter 60 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 2000 N·m werkt in C, op 0,8 m van A en 1 m van B. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.
d = 60 mmT0 = 2000 N·ma = 0,8 mb = 1 m
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.
σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τθ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
σx = 80 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.
P = 10 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 100 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.
staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 150 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (staal)
d = mm
11.Mechanische trillingenGemiddeld
Een massa van 100 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 40 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 1000 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
m = 100 kgk = 40 kN/mc = 1000 N·s/m
ζ =
12.Mechanische trillingenMoeilijk
Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 25 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 50 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
m = 25 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3Oplossingen
1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: P = 3,619 kW
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Riemsnelheid
v = 7,54 m/s
Vermogen
P = (800 − 320)·7,54 = 3619 W = 3,619 kW
Antwoord
P = 3,619 kW
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen
Antwoord: P = 9,349 kW
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Omspanningshoek
θ = 2,764 rad
Spanning in het slappe deel
eμθ = e0,9675 = 2,631, T₂ = 2000/2,631 = 760 N
Vermogen
P = (2000 − 760)·7,54 = 9,349 kW
Antwoord
P = 9,349 kW
3.Torsie van assen
Antwoord: d = 50,94 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Benodigd polair traagheidsmoment
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·1200/(26000·0,01745) = 661105 mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 50,94 mm
Antwoord
d = 50,94 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
4.Torsie van assen
Antwoord: τmax = 26,2 MPa
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen TA + TB = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).
Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1/1,8 = 1111 N·m
TB = 2000·0,8/1,8 = 888,9 N·m
Maximale schuifspanning
Het grootste van de twee momenten is maatgevend (zelfde diameter).
τmax = 16·1,111 × 10⁶/(π·60³) = 26,2 MPa
Antwoord
τmax = 26,2 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τmax = 52,2 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Straal van de cirkel van Mohr
τmax = R = √(((−60 − −30)/2)² + −50²) = 52,2 MPa
Antwoord
τmax = 52,2 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: τθ = 26,65 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Transformatieformule
τθ = −25·−0,866 + 10·0,5 = 26,65 MPa
Antwoord
τθ = 26,65 MPa
7.Axiale spanning en rek
Antwoord: δ = 0,6631 mm
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε
Verlenging
δ = ε·L = 0,0004421·1500 mm = 0,6631 mm
Antwoord
δ = 0,6631 mm
8.Axiale spanning en rek
Antwoord: Pmax = 377 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Oppervlakken
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
Gecombineerde axiale stijfheid
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N
Bepalende rek
ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (staal)
Grootste belasting
Pmax = 0,0008·4,712 × 10⁸ = 376991 N = 377 kN
Antwoord
Pmax = 377 kN
9.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 21,7 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Kniklengte
KL = 2·4000 = 8000 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN
Antwoord
Pcr = 21,7 kN
10.Knik van kolommen
Antwoord: d = 95,14 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 95,14 mm
Antwoord
d = 95,14 mm
Controle: de slankheid KL/r is 176,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.
11.Mechanische trillingen
Antwoord: ζ = 0,25
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kritische demping
cc = 2·√(k·m) = 2·√(40000·100) = 4000 N·s/m
Dempingsverhouding
ζ = c/cc = 1000/4000 = 0,25
Antwoord
ζ = 0,25
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
12.Mechanische trillingen
Antwoord: fn = 4,173 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vervangende stijfheid
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
k12 = 50 + 5 = 55 kN/m
keq = 55·25/(55 + 25) = 17,19 kN/m
Eigenfrequentie
ωn = √(17188/25) = 26,22 rad/s
fn = 26,22/(2π) = 4,173 Hz
Antwoord
fn = 4,173 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design