Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 11 kW die met 1450 rpm draait, drijft een rondsel met 20 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 95%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 60η = 95%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 80 mm en een schijf van 450 mm waarvan de hartafstand 500 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 10 kW over bij 750 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −30 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 90 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 20 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø20 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 25 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 25 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 5 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 12 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 150 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 5 kgk = 12 kN/mc = 150 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 15 kN/m en de onderste k₂ = 50 kN/m. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 72,44 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Antwoord

T₁ = 72,44 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 136,6 °

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemhoek

asin(0,37) = 21,72°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·21,72 = 136,6°

Antwoord

θ = 136,6°

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,9237 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·79522) = 0,01612 rad

φ = 0,01612·180/π = 0,9237°

Antwoord

φ = 0,9237°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 36,92 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 36,92 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(23,49, 36,92) = 36,92 mm

Antwoord

d = 36,92 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 51,21 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 60 MPa, R = √(30² + (−30)²) = 42,43 MPa

σ₁ = 102,4 MPa, σ₂ = 17,57 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(84,85, 102,4, 17,57)/2 = 51,21 MPa

Antwoord

τ_abs = 51,21 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 80,2 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 55 + −25·0,1736 + 30·0,9848 = 80,2 MPa

Antwoord

σ_θ = 80,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 61,36 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/8,149 × 10⁻⁶ = 61359 N = 61,36 kN

Antwoord

P = 61,36 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 63,66 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 63,66 MPa

Antwoord

σ_max = 63,66 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 86,82 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86,82 kN

Antwoord

P_cr = 86,82 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 55,1 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Antwoord

d = 55,1 mm

Controle: de slankheid KL/r is 181,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,3062

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·5) = 489,9 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 150/489,9 = 0,3062

Antwoord

ζ = 0,3062

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 11,54 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11,54 kN/m

Antwoord

k_eq = 11,54 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design