Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Twee evenwijdige assen liggen 50 mm uit elkaar. Ze moeten worden verbonden met een paar rechte tandwielen met een module van 2,5 mm en een vertraging van 1,5 : 1. Hoeveel tanden N₁ moet het rondsel hebben?

a = 50 mmm = 2,5 mmi = 1,5

N₁ =

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (18 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (24 tanden) aan. Tandwiel C (32 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (60 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 24C = 32D = 60

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 1500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 75 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −50 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 115 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 50 kNdeel 1: Ø25 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 12 kg aan een veer met een stijfheid van 12 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 12 kgk = 12 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 15 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 30 kN/m en k₂ = 50 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Totaal aantal tanden

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·50/2,5 = 40

Verdeel volgens de verhouding

N₁ = 40/(1 + 1,5) = 16

Antwoord

N₁ = 16

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 600 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

n_B = 1500·18/24 = 1125 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1125·32/60 = 600 rpm

Antwoord

n_out = 600 rpm

totale overbrengingsverhouding = 2,5 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 52,3 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(39000·0,02618) = 734561 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 52,3 mm

Antwoord

d = 52,3 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 8,322 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·40/2,374 × 10⁶ = 8,322 MPa

Antwoord

τ_max = 8,322 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = 65,82 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −40/60,21 = −0,6644, sin 2θ_s = −(−45)/60,21 = 0,7474

2θ_s = atan2(45, −40) = 131,6°

Hoek op het element

θ_s = 65,82°

controle: θ_s − θ_p = 65,82 − (−69,18) = 135°

Antwoord

θ_s = 65,82°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 153,5 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 135 + 15·−0,5 + 30·0,866 = 153,5 MPa

Antwoord

σ_θ = 153,5 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,129 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/117000 = 0,003129 = 3129 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,003129·1000 mm = 3,129 mm

Antwoord

δ = 3,129 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,8763 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·500/200000 = 0,2546 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·500/200000 = 0,6217 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8763 mm

Antwoord

δ = 0,8763 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,412 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Antwoord

P_cr = 2,412 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6,25 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwoord

σ_cr = 49,35 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 4,801 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(12000/12) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,3²) = 4,801 Hz

Antwoord

f_d = 4,801 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,657 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 30 + 50 = 80 kN/m

k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(12632/10) = 35,54 rad/s

f_n = 35,54/(2π) = 5,657 Hz

Antwoord

f_n = 5,657 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design