Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 160 mm met 1450 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 500 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 500 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 24 tanden en elk planeetwiel 12 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 1500 rpm. Vind het toerental n_c van de planeetdrager.

N_s = 24N_p = 12n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 750 N·m samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 100 N·m

τ_max = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 150 kg aan een veer met een stijfheid van 150 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie f_d van de vrije trilling in Hz.

m = 150 kgk = 150 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 100 kN/m en k₂ = 12 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 454,7 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

1450·160/500 = 464 rpm

Met slip

n₂ = 464·0,98 = 454,7 rpm

Antwoord

n₂ = 454,7 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_c = 500 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·12 = 48

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel n_r = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −48/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·24/72 = 500 rpm

Antwoord

n_c = 500 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,49 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·38350) = 0,2006 rad

φ = 0,2006·180/π = 11,49°

Antwoord

φ = 11,49°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 20,13 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·25/408885 = 20,13 MPa

Antwoord

τ_max = 20,13 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 58,31 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((60 − 0)/2)² + 50²) = 58,31 MPa

Antwoord

τ_max = 58,31 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 142,7 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 18,86²) = 142,7 MPa

Antwoord

τ_max = 142,7 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 22,13 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706,9) = 1,011 × 10⁻⁵ mm/N

Belasting

P = 0,25/1,13 × 10⁻⁵ = 22126 N = 22,13 kN

Antwoord

P = 22,13 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 29,42 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·622035/747699 = 83193 N

Spanning

σ₂ = 83193/2827 = 29,42 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 29,42 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,366 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Antwoord

P_cr = 2,366 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,676 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: f_d = 4,801 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ω_n = √(150000/150) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Gedempte eigenfrequentie

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,3²) = 4,801 Hz

Antwoord

f_d = 4,801 Hz

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 112 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 12 = 112 kN/m

Antwoord

k_eq = 112 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design