Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een riem loopt op een aandrijvende schijf van 160 mm met 960 rpm. De spanning is 800 N in het trekkende deel en 320 N in het slappe deel. Bepaal het overgebrachte vermogen P, in kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 800 NT₂ = 320 N

P = kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (25 tanden) op de ingaande as met 1440 rpm en drijft tandwiel B (45 tanden) aan. Tandwiel C (18 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 180 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1440 rpmA = 25B = 45C = 18n_out = 180 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 2,5 m; deel BC heeft diameter 30 mm en lengte 3 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 750 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 750 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 100 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 75 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 250 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 25 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 20 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 210 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 25 kgk = 20 kN/mc = 210 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 100 kg hangt aan veer k₃ = 40 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 60 kN/m en k₂ = 10 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: P = 3,86 kW

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Riemsnelheid

v = 8,042 m/s

Vermogen

P = (800 − 320)·8,042 = 3860 W = 3,86 kW

Antwoord

P = 3,86 kW

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1440·25/45 = 800 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 18·800/180 = 80

Antwoord

N_D = 80

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 141,5 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Antwoord

τ_max = 141,5 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 35,1 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Antwoord

d = 35,1 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 95,52 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−70 − 120)/2)² + 10²) = 95,52 MPa

Antwoord

τ_max = 95,52 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,236

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 15 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 70,9 MPa, σ₂ = −40,9 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 111,8 MPa

n = 250/111,8 = 2,236

Antwoord

n = 2,236

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 53,74 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/5,582 × 10⁻⁶ = 53744 N = 53,74 kN

Antwoord

P = 53,74 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 494,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0007143) = 0,0007143 (aluminium)

Grootste belasting

P_max = 0,0007143·6,919 × 10⁸ = 494240 N = 494,2 kN

Antwoord

P_max = 494,2 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 57,12 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Antwoord

P_cr = 57,12 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 79,31 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Antwoord

σ_cr = 79,31 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,1485

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·25) = 1414 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 210/1414 = 0,1485

Antwoord

ζ = 0,1485

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,539 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 60 + 10 = 70 kN/m

k_eq = 70·40/(70 + 40) = 25,45 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(25455/100) = 15,95 rad/s

f_n = 15,95/(2π) = 2,539 Hz

Antwoord

f_n = 2,539 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design