Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW met 1450 rpm drijft een worm met 4 gang(en) aan. Het wormwiel heeft 36 tanden en de overbrenging heeft een rendement van 55%. Vind het uitgaande koppel T_w op de as van het wiel.

z = 4N_w = 36n = 1450 rpmP = 3 kWη = 55%

T_w = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een samengestelde tandwieloverbrenging draait tandwiel A (25 tanden) op de ingaande as met 1440 rpm en drijft tandwiel B (80 tanden) aan. Tandwiel C (45 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D op de uitgaande as aan. De uitgaande as moet met 337,5 rpm draaien. Hoeveel tanden N_D moet tandwiel D hebben?

n_in = 1440 rpmA = 25B = 80C = 45n_out = 337,5 rpm

N_D =

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 50 kW over bij 300 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −30 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm 5 perioden later een piek van 5,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 5,7 mmn = 5

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 10 kg hangt aan veer k₃ = 15 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 40 kN/m en k₂ = 100 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_w = 97,8 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Toerental van het wiel

n_w = n·z/N_w = 1450·4/36 = 161,1 rpm

Uitgaand koppel

ω_w = 2π·161,1/60 = 16,87 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,55·3000/16,87 = 97,8 N·m

Antwoord

T_w = 97,8 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: N_D = 60

Toerental van de tussenas

n_B = n_C = 1440·25/80 = 450 rpm

Tanden op tandwiel D

N_D = C·n_C/n_out = 45·450/337,5 = 60

Antwoord

N_D = 60

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,7307 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

φ = 0,01275·180/π = 0,7307°

Antwoord

φ = 0,7307°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 69,42 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Diameter op sterkte

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80)) = 46,62 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 69,42 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(46,62, 69,42) = 69,42 mm

Antwoord

d = 69,42 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 39,27 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 45 MPa, R = √((−15)² + (−30)²) = 33,54 MPa

σ₁ = 78,54 MPa, σ₂ = 11,46 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(67,08, 78,54, 11,46)/2 = 39,27 MPa

Antwoord

τ_abs = 39,27 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 102,9 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−90·0,866 + 50·0,5 = 102,9 MPa

Antwoord

τ_θ = 102,9 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 66,53 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/3,758 × 10⁻⁶ = 66528 N = 66,53 kN

Antwoord

P = 66,53 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 592,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·9346 = 1,184 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·1,184 × 10⁹ = 592190 N = 592,2 kN

Antwoord

P_max = 592,2 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 9,922 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Antwoord

P_cr = 9,922 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,03992

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/5)·ln(20/5,7) = 0,2511

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2511/√(39,48 + 0,06303) = 0,03992

Antwoord

ζ = 0,03992

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 5,858 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 40 + 100 = 140 kN/m

k_eq = 140·15/(140 + 15) = 13,55 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(13548/10) = 36,81 rad/s

f_n = 36,81/(2π) = 5,858 Hz

Antwoord

f_n = 5,858 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design