Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een schijf van 160 mm met 720 rpm drijft via een riem met 1 % slip een schijf van 400 mm aan. Bepaal het toerental n₂ van de aangedreven schijf.

n₁ = 720 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 500 mm waarvan de hartafstand 500 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.

d₁ = 200 mmd₂ = 500 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 60 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 2,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 750 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 30 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 400 N·m werkt in B, op 0,5 m van A, en een wringend moment van 200 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,5 mBC = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa en σᵧ = 20 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 60 MPa bereikt?

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 275 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 45 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 100 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 100 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 25 mm 2 perioden later een piek van 15,1 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 15,1 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 15 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid k_eq van het verensysteem in kN/m.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n₂ = 285,1 rpm

Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = e^μθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.

Toerental zonder slip

720·160/400 = 288 rpm

Met slip

n₂ = 288·0,99 = 285,1 rpm

Antwoord

n₂ = 285,1 rpm

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: θ = 145,1 °

Riemhoek

asin(0,3) = 17,46°

Omspanningshoek

θ = 180 − 2·17,46 = 145,1°

Antwoord

θ = 145,1°

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 59,68 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Antwoord

τ_max = 59,68 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 5,404 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 400 = 600 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 600000·500/(80000·79522) = 0,04716 rad

φ_BC = 200000·1500/(80000·79522) = 0,04716 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,04716 + 0,04716 = 0,09431 rad → |φ_C| = 5,404°

Antwoord

φ_C = 5,404°

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 34,64 MPa

Benodigde straal

C = (30 + 20)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 25 = 35 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 5²) = 34,64 MPa

Antwoord

τ_xy = 34,64 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,676

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 125 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = 164,1 MPa, σ₂ = 85,95 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 164,1 MPa

n = 275/164,1 = 1,676

Antwoord

n = 1,676

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 713 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/200000 = 0,000713 = 713 µε

Antwoord

ε = 713 µε

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,631 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1000/100000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·500/200000 = 0,9947 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,631 mm

Antwoord

δ = 1,631 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 117 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

Antwoord

P_cr = 117 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 164,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 164,8 mm

Antwoord

d = 164,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 242,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04009

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/2)·ln(25/15,1) = 0,2521

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2521/√(39,48 + 0,06355) = 0,04009

Antwoord

ζ = 0,04009

12.Mechanische trillingen

Antwoord: k_eq = 40 kN/m

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 25 = 40 kN/m

Antwoord

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design