Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een brug heeft vier armen van 220 Ω en V_s = 15 V. De sensor R₂ neemt toe met ΔR = 0,55 Ω. Bepaal met de benadering voor kleine veranderingen de uitgang V_ab in mV.

V_s = 15 VR = 220 ΩΔR = 0,55 Ω

V_ab = mV

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een kwartbrug met één actief rekstrookje (GF = 2,12) wordt bekrachtigd met 10 V. Onder belasting geeft de uitgang 2,65 mV. Bepaal de rek ε in µε.

V_s = 10 VGF = 2,12V_o = 2,65 mV

ε = µε

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een recorder bemonstert 2 kanalen met elk 2 kHz en een 14-bits ADC. Elke sample wordt in hele bytes opgeslagen. Bepaal het geheugen M dat nodig is voor een opname van 60 min, in MB (1 MB = 10⁶ bytes).

n = 2f_s = 2 kHzN = 14t = 60 min

M = MB

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een 16-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 38400 baud, formaat 8N1 (startbit, 8 databits, 1 stopbit). Elke sample wordt als 2 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie f_max die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.

baud = 38400 BdN = 168N1

f_max = Hz

5.OpampschakelingenGemiddeld

Kies de terugkoppelweerstand R_f die deze niet-inverterende versterker een spanningsversterking van 2 geeft.

R₁ = 2 kΩA_v = 2

R_f = kΩ

6.OpampschakelingenMoeilijk

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. De weerstandsverhoudingen zijn niet op elkaar afgestemd. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = −1,9 VV₂ = 0,4 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩR₃ = 47 kΩR₄ = 47 kΩ

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 10 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_ab = 9,375 mV

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Relatieve verandering

ΔR/R = 0,55/220 = 0,0025

Gelineariseerde uitgang

V_ab ≈ 15·0,0025/4 = 9,375 mV

Antwoord

V_ab = 9,375 mV

De exacte waarde is 9,363 mV; de benadering is goed zolang ΔR/R klein is.

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: ε = 500 µε

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Los de vergelijking van de kwartbrug op

ε = 4·0,00265/(10·2,12) = 0,0005

In microrek

ε = 500 µε

Antwoord

ε = 500 µε

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: M = 28,8 MB

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Bytes per sample

⌈14/8⌉ = 2 B

Bytesnelheid

2·2000·2 = 8000 B/s

Geheugen

M = 8000·3600 = 2,88 × 10⁷ B = 28,8 MB

Antwoord

M = 28,8 MB

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_max = 960 Hz

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per sample op de lijn

2·10 = 20 bit

Hoogste bemonsteringsfrequentie

f_s,max = 38400/20 = 1920 Hz

Nyquistgrens

f_max = 1920/2 = 960 Hz

Antwoord

f_max = 960 Hz

5.Opampschakelingen

Antwoord: R_f = 2 kΩ

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Versterking van een niet-inverterende versterker

V₋ = V₊ = V_in, en de stroom door R₁ loopt ook door R_f, dus V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (2 − 1)·2 = 2 kΩ

Antwoord

R_f = 2 kΩ

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = 1,187 V

Spanning op de +-ingang

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,4·47/(47 + 47) = 0,2 V

Superponeer de twee ingangen

Met V₂ = 0 ziet V₁ een inverterende versterker. Met V₁ = 0 wordt V₊ versterkt met de niet-inverterende versterking 1 + R₂/R₁.

V_out = −(4,7/10)·(−1,9) + (1 + 4,7/10)·0,2 = 0,893 + 0,294 = 1,187 V

Antwoord

V_out = 1,187 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 17,77 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 15 + 2,769 = 17,77 Ω

Antwoord

R_eq = 17,77 Ω

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,3702 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 1,852 Ω

R₃ + 1,852 = 6,852 Ω

R₂ ∥ 6,852 = 4,703 Ω

R_eq = R₁ + 4,703 = 8 + 4,703 = 12,7 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,7 = 1,181 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,181·8 = 5,554 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,554/15 = 0,3702 A

Antwoord

I_R2 = 0,3702 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 23,33 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 20 = 23,33 Ω

10.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 9,131 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,308 + 5 = 7,308 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9,231 + 1·2,308 = 11,54 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11,54 + 1·5 = 16,54 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 16,54/(7,308 + 10) = 0,9556 A

P_L = I_L²·R_L = 0,9556²·10 = 9,131 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Relatieve verandering

Gelineariseerde uitgang

Antwoord

Los de vergelijking van de kwartbrug op

In microrek

Antwoord

Bytes per sample

Bytesnelheid

Geheugen

Antwoord

Bits per sample op de lijn

Hoogste bemonsteringsfrequentie

Nyquistgrens

Antwoord

Versterking van een niet-inverterende versterker

Antwoord

Spanning op de +-ingang

Superponeer de twee ingangen

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning