Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een galvanometer met een weerstand van 500 Ω is aangesloten tussen a en b van de getoonde brug (V_s = 6 V). Bepaal de galvanometerstroom I_g van a naar b, in µA.

V_s = 6 VR₁ = 150 ΩR₂ = 120 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 800 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een rekstrookje van 120 Ω met k-factor 2 is op een stalen staaf gelijmd. Onder belasting neemt zijn weerstand toe met 0,288 Ω. Bepaal de rek ε in microrek (µε).

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0,288 Ω

ε = µε

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een UART verstuurt bytes met 4800 baud in het formaat 8E1: 8 databits, een even pariteitsbit en 1 stopbit(s), plus de startbit. Bepaal het grootste aantal databytes per seconde dat hij kan overdragen.

baud = 4800 Bd8E1

R_B = B/s

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een 24-bits ADC stuurt elke sample via een UART met 230400 baud, formaat 8N1 (startbit, 8 databits, 1 stopbit). Elke sample wordt als 3 hele byte(s) verzonden en de verbinding is voortdurend bezet. Bepaal de hoogste signaalfrequentie f_max die zonder aliasing kan worden bemonsterd, in Hz.

baud = 230400 BdN = 248N1

f_max = Hz

5.OpampschakelingenGemiddeld

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V; de uitgang verzadigt bij ±14 V. De inverterende versterker wordt gestuurd met een sinusvormig signaal. Vind de grootste ingangsamplitude V_in,max (topwaarde) waarbij de uitgang niet wordt afgekapt.

R₁ = 1 kΩR_f = 2 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. De weerstandsverhoudingen zijn niet op elkaar afgestemd. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = −0,5 VV₂ = 1,5 VR₁ = 100 kΩR₂ = 100 kΩR₃ = 100 kΩR₄ = 2 kΩ

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: I_g = −3801 µA

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Thévenin-spanning

V_th = 6·(120/270 − 800/920) = −2,551 V

Thévenin-weerstand

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 171 Ω

Galvanometerstroom

I_g = −2,551/(171 + 500) = −3801 µA

Antwoord

I_g = −3801 µA

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: ε = 1200 µε

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Relatieve weerstandsverandering

ΔR/R = 0,288/120 = 0,0024

Rek

ε = 0,0024/2 = 0,0012 = 1200 µε

Antwoord

ε = 1200 µε

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: R_B = 436,4 B/s

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Bytesnelheid

4800/11 = 436,4 B/s

Antwoord

R_B = 436,4 B/s

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_max = 3840 Hz

Bits per sample op de lijn

3·10 = 30 bit

Hoogste bemonsteringsfrequentie

f_s,max = 230400/30 = 7680 Hz

Nyquistgrens

f_max = 7680/2 = 3840 Hz

Antwoord

f_max = 3840 Hz

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_in,max = 7 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Versterking

|A_v| = R_f/R₁ = 2/1 = 2

Grootste ingang vóór afkappen

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/2 = 7 V

Antwoord

V_in,max = 7 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = 0,5588 V

Spanning op de +-ingang

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·2/(100 + 2) = 0,02941 V

Superponeer de twee ingangen

Met V₂ = 0 ziet V₁ een inverterende versterker. Met V₁ = 0 wordt V₊ versterkt met de niet-inverterende versterking 1 + R₂/R₁.

V_out = −(100/100)·(−0,5) + (1 + 100/100)·0,02941 = 0,5 + 0,05882 = 0,5588 V

Antwoord

V_out = 0,5588 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,8108 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω

R_eq = R₁ + 2,222 = 6 + 2,222 = 8,222 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,222 = 1,459 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,459·6 = 3,243 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,243/4 = 0,8108 A

Antwoord

I_R2 = 0,8108 A

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,6087 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 2 + 5 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4,773 Ω

R₃ + 4,773 = 19,77 Ω

R₂ ∥ 19,77 = 5,696 Ω

R_eq = R₁ + 5,696 = 6 + 5,696 = 11,7 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11,7 = 0,855 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,855·6 = 4,87 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,87/8 = 0,6087 A

Antwoord

I_R2 = 0,6087 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 1,111 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 3 = 4,5 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·3/(3+3) = 5 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 5/4,5 = 1,111 A

10.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 4,6 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·4/(8+4) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 4 = 6,667 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + 4·2,667 = 14,67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,67 + 4·4 = 30,67 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 30,67/6,667 = 4,6 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Thévenin-spanning

Thévenin-weerstand

Galvanometerstroom

Antwoord

Relatieve weerstandsverandering

Rek

Antwoord

Bits per frame

Bytesnelheid

Antwoord

Bits per sample op de lijn

Hoogste bemonsteringsfrequentie

Nyquistgrens

Antwoord

Versterking

Grootste ingang vóór afkappen

Antwoord

Spanning op de +-ingang

Superponeer de twee ingangen

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning