Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 85 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 6 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 5 mw = 10 kN/m van 1 tot 5 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 250 mm breed en 22 mm dik, een totale hoogte van 340 mm en een lijf van 14 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 250 mmH = 340 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 97,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 150 mmuitsparing: 40 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 20 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 150 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 150 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 150 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 150 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,469 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/117000 = 0,002313 = 2313 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002313·1500 mm = 3,469 mm

Antwoord

δ = 3,469 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,874 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/117000 = 0,5743 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1500/200000 = 6,3 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,874 mm

Antwoord

δ = 6,874 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 5,261 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Antwoord

φ = 5,261°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 6,13 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 197572·30/966855 = 6,13 MPa

Antwoord

τ_max = 6,13 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 77,5 kN, R₂ = 62,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 280, M_D = 345 kN·m, M_E = 250, M_F = 125, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 345 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 28,8 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/10 = 2,6 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 16·2,6 − 10·1,6²/2 = 28,8 kN·m

Antwoord

M_max = 28,8 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 308,8 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 340 − 2·22 = 296 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·340³ − 236·296³)/12

I_x = 3,088 × 10⁸ mm⁴ = 308,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 308,8 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 32,19 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (18000·75 − 2000·97,5)/(18000 − 2000) = 72,19 mm

Volle plaat om ȳ

120·150³/12 + 18000·2,813² = 33,89 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·50³/12 + 2000·25,31² = 1,698 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 32,19 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 32,19 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 18,03 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − 10)/2)² + 10²) = 18,03 MPa

Antwoord

τ_max = 18,03 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 4,284 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −10·0,9397 + 40·0,342 = 4,284 MPa

Antwoord

τ_θ = 4,284 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 42,53 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 10,63 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01595 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 42,53 mm

Antwoord

δ_B = 42,53 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 230,7 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·20) = 1,534 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,534 × 10⁸/150)^1/3 = 230,7 mm

Antwoord

h_req = 230,7 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 24,06 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3500² = 24063 N = 24,06 kN

Antwoord

P_cr = 24,06 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 46,9 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 46,9 mm

Antwoord

d = 46,9 mm

Controle: de slankheid KL/r is 106,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials