Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 20 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 7 mP₁ = 75 kN op 1 mP₂ = 60 kN op 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_B = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 4,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 40 kN op 4,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 80 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 180 × 24 mm, een lijf van 210 mm hoog en 10 mm dik, en een onderflens van 280 × 14 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 180 × 24 mmlijf: 10 × 210 mmonderflens: 280 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 22 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 29 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 25 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 25 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1375 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 300000·500/1,091 × 10⁹ = 0,1375 mm

Antwoord

δ = 0,1375 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 31,05 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·654498/1,073 × 10⁶ = 60976 N

Spanning

σ₂ = 60976/1963 = 31,05 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 31,05 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,194 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·38350) = 0,1605 rad

φ = 0,1605·180/π = 9,194°

Antwoord

φ = 9,194°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 43,93 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/362265 = 43,93 MPa

Antwoord

τ_max = 43,93 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −60 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·1 + 60·7

R_B = 495/6 = 82,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 82,5 = 52,5 kN

Snede bij B, houd het overstek over

Op het overstek werkt alleen P₂, met arm a. Die buigt de balk boven de oplegging omhoog (opbuigend, hogging).

M_B = −P₂·a = −60·1 = −60 kN·m

Antwoord

M_B = −60 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 65,25 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4,5 + 6·6·3

R_B = 288/6 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 48 = 28 kN

Snijd bij x = 4,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 28·4,5 − 6·4,5·2,25 = 65,25 kN·m

Antwoord

M_x = 65,25 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (20000·100 − 1963·80)/(20000 − 1963) = 102,2 mm

Volle plaat om ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,177² = 66,76 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−22,18² = 1,273 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 115,9 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 4320 mm², y = 236 mm

lijf: A = 2100 mm², y = 119 mm

onderflens: A = 3920 mm², y = 7 mm

Zwaartepunt

ȳ = (4320·236 + 2100·119 + 3920·7)/10340 = 125,4 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 180·24³/12 + 4320·110,6² = 5,303 × 10⁷ mm⁴

lijf: 10·210³/12 + 2100·6,422² = 7,804 × 10⁶ mm⁴

onderflens: 280·14³/12 + 3920·118,4² = 5,504 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,303 × 10⁷ + 7,804 × 10⁶ + 5,504 × 10⁷

I_x = 1,159 × 10⁸ mm⁴ = 115,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 115,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 6,62 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 140 − −30) = 13,24°

Hoek op het element

θ_p = 6,62°

Antwoord

θ_p = 6,62°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −32,82 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 5 + −35·0,6428 + −20·0,766 = −32,82 MPa

Antwoord

σ_θ = −32,82 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 15,37 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 22000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 22000·1500³/(3·1,61 × 10¹²) = 15,37 mm

Antwoord

δ_P = 15,37 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 5,465 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·3000³/(48·5,88 × 10¹²) = 2,774 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,691 mm

Tel ze op

δ_max = 2,774 + 2,691 = 5,465 mm

Antwoord

δ_max = 5,465 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,935 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/4000² = 4935 N = 4,935 kN

Antwoord

P_cr = 4,935 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 49,09 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 49,09 mm

Antwoord

d = 49,09 mm

Controle: de slankheid KL/r is 244,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials