Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 25 mmKoper2 mP = 65 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 25 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø30100 GPaØ100/60600 mm

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsie van assenGemiddeld
d = ?T = 750 N·mL = 2,5 m

Een massieve as van aluminium met een lengte van 2,5 m draagt een wringend moment van 750 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 750 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Tdo​ = 80 mm, di​ = 56 mm

Een holle as brengt 100 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

P = 100 kWN = 500 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 80 kNP2​ = 30 kNAB1 m5 m2 m

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 8 mP1 = 80 kN op 1 mP2 = 30 kN op 6 m
Mmax = kN·m
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 12 kN/mP = 50 kNABdoorsnede7 m1 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 50 kN op 7 mw = 12 kN/m van 0 tot 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
2402028018xafmetingen in mm

Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
120 mm240 mm144 mm60 × 50xIx​ = ?

Een plaat van 120 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 144 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 240 mmuitsparing: 60 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 110σy​ = 70τxy​ = 40MPa

In een punt is σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 15° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σy′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σx = 110 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = 140σy​ = 70τxy​ = −50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σx = 140 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 8 kN/mP = 26 kNABδ1,5 m

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 26 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 15 kN/mδL = 4 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 5 md = 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
P = 5 kNL = 4 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)
d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,264 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490,9 = 132,4 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 132,4/117000 = 0,001132 = 1132 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001132·2000 mm = 2,264 mm

Antwoord

δ = 2,264 mm
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 515,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0008) = 0,0008 (messing)

Grootste belasting

Pmax = 0,0008·6,44 × 10⁸ = 515221 N = 515,2 kN

Antwoord

Pmax = 515,2 kN
3.Torsie van assen

Antwoord: d = 80,54 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(26000·0,01745) = 4,132 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 80,54 mm

Antwoord

d = 80,54 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 25 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τmax = T·(do/2)/J = 1,91 × 10⁶·40/3,056 × 10⁶ = 25 MPa

Antwoord

τmax = 25 MPa
5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 77,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·1 + 30·6
RB = 260/8 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 32,5 = 77,5 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P1: M = RA·1 = 77,5·1 = 77,5 kN·m
onder P2: M = RB·2 = 32,5·2 = 65 kN·m

Grootste waarde

Mmax = 77,5 kN·m (onder P1)

Antwoord

Mmax = 77,5 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 85,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·7 + 12·8·4
RB = 734/8 = 91,75 kN
ΣFy = 0: RA = 146 − 91,75 = 54,25 kN
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = 54,25RB​ = 91,75doorsnede7 m1 m

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 54,25·7 − 12·7·3,5 = 85,75 kN·m

Antwoord

Mx = 85,75 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 88,41 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
lijf: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·290 + 5040·140)/9840 = 213,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·20³/12 + 4800·(290 − 213,2)² = 2,849 × 10⁷ mm⁴
lijf: 18·280³/12 + 5040·(140 − 213,2)² = 5,991 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,849 × 10⁷ + 5,991 × 10⁷ = 8,841 × 10⁷ mm⁴ = 88,41 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 88,41 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 135,7 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (28800·120 − 3000·144)/(28800 − 3000) = 117,2 mm

Volle plaat om ȳ

120·240³/12 + 28800·2,791² = 138,5 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

60·50³/12 + 3000·26,79² = 2,778 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 135,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 135,7 × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σy′ = 52,68 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σy′ = 90 − 20·0,866 − 40·0,5 = 52,68 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σx′ = 127,3 MPa, σx′ + σy′ = 180 = σx + σy

Antwoord

σy′ = 52,68 MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σθ = 89,2 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

σθ = 105 + 35·0,6428 + −50·0,766 = 89,2 MPa

Antwoord

σθ = 89,2 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 3,01 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δP = PL³/(3EI) = 26000·1500³/(3·1,14 × 10¹³) = 2,566 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 0,4441 mm

Tel ze op

δ = 2,566 + 0,4441 = 3,01 mm

Antwoord

δ = 3,01 mm
12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11,11) = 6,429 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 64,29 × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 39,69 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Antwoord

Pcr = 39,69 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 25,35 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 2·5000 = 10000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 25,35 mm

Antwoord

d = 25,35 mm

Controle: de slankheid KL/r is 315,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials