Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 45 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 10 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 30 mm, binnendiameter 18 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 250 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 250 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 20 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 2,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 15 kN op 2,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 55 kN op 2 mw = 4 kN/m van 0 tot 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 52,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 30 MPa op trek en 150 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Het element wordt 50° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 3 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 70 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 70 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,833 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/100000 = 0,0009167 = 916,7 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0009167·2000 mm = 1,833 mm

Antwoord

δ = 1,833 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4121 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·500/70000 = 0,05684 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49,74·500/70000 = 0,3553 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4121 mm

Antwoord

δ = 0,4121 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,98 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Wringhoek

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·500/(26000·69216) = 0,06946 rad

φ = 0,06946·180/π = 3,98°

Antwoord

φ = 3,98°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 43,9 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(20,09, 43,9) = 43,9 mm

Antwoord

d = 43,9 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −103,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −15·2 = −30 kN·m

w: −12·3,5²/2 = −73,5 kN·m

M_x = −30 − 73,5 = −103,5 kN·m

Antwoord

M_x = −103,5 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 78 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·2 + 4·5·2,5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 32 = 43 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 43·2 − 4·2·1 = 78 kN·m

Antwoord

M_x = 78 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (18000·75 − 1963·52,5)/(18000 − 1963) = 77,75 mm

Volle plaat om ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,755² = 33,89 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25,25² = 1,559 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 4,554 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (1600·185 + 3240·90)/4840 = 121,4 mm

bovenrand: c = 190 − 121,4 = 68,6 mm

Traagheidsmoment

I = 160·10³/12 + 1600·63,6² + 18·180³/12 + 3240·31,4² = 1,843 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 150·1,843 × 10⁷/68,6 = 40,3 kN·m

onderrand: M = 30·1,843 × 10⁷/121,4 = 4,554 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 4,554 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 4,554 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 93,44 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 50 − 80·(−0,1736) − (−30)·0,9848 = 93,44 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 6,564 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 93,44 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 96,19 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 40 + −40·−0,1736 + 50·0,9848 = 96,19 MPa

Antwoord

σ_θ = 96,19 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 10,26 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 10,26 mm

Antwoord

δ_max = 10,26 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 6,75 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6,75 kN

Antwoord

R_B = 6,75 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 19,62 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Antwoord

P_cr = 19,62 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 100,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 100,8 mm

Antwoord

d = 100,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 198,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials