Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 20 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 100 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 100 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 3000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 55 kN·m op x = 1,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m rechtsom, op 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 30 kN op 2 mw = 5 kN/m van 0 tot 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 190 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 480 mm en een lijf van 10 mm dik. Vind het elastische weerstandsmoment S_x voor buiging om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 190 mmH = 480 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 15 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 60 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 420 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 4 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 11 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 25 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 25 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 153,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1963) = 1,273 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/3,263 × 10⁻⁶ = 153248 N = 153,2 kN

Antwoord

P = 153,2 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 3,509 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 20000·494801/997456 = 9921 N

Spanning

σ₂ = 9921/2827 = 3,509 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 3,509 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 29,41 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·500/(39000·0,01745) = 73456 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 29,41 mm

Antwoord

d = 29,41 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 6,356 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/751193 = 6,356 MPa

Antwoord

τ_max = 6,356 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −13,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −9,167 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −9,167·1,5 = −13,75 kN·m

Antwoord

M_x = −13,75 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 40 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 5·4·2

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 25·2 − 5·2·1 = 40 kN·m

Antwoord

M_x = 40 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: S_x = 1972 × 10³ mm³

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 480 − 2·20 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·480³ − 180·440³)/12

I_x = 4,733 × 10⁸ mm⁴

Weerstandsmoment

c = H/2 = 240 mm

S_x = I/c = 4,733 × 10⁸/240

S_x = 1,972 × 10⁶ mm³ = 1972 × 10³ mm³

Antwoord

S_x = 1972 × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 112,3 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·210 + 2000·100)/6400 = 175,6 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·20³/12 + 4400·(210 − 175,6)² = 5,346 × 10⁶ mm⁴

lijf: 10·200³/12 + 2000·(100 − 175,6)² = 1,81 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,346 × 10⁶ + 1,81 × 10⁷ = 2,345 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 175,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·175,6/2,345 × 10⁷ = 112,3 MPa

Antwoord

σ_onder = 112,3 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 76,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 90 MPa, R = √((−20)² + 60²) = 63,25 MPa

σ₁ = 153,2 MPa, σ₂ = 26,75 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 153,2, 26,75)/2 = 76,62 MPa

Antwoord

τ_abs = 76,62 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,599

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 130 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 161,6 MPa, σ₂ = 98,38 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 161,6 MPa

n = 420/161,6 = 2,599

Antwoord

n = 2,599

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 5,432 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·4000²·2000²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 5,432 mm

Antwoord

δ_P = 5,432 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 313,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Antwoord

P_cr = 313,9 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 45,13 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 45,13 mm

Antwoord

d = 45,13 mm

Controle: de slankheid KL/r is 133, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials