Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 150 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 150 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 20 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 50 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 1000 N·m werkt in C, op 1,2 m van A en 1,5 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,2 mb = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 10 kN op 4 mw = 2 kN/m van 0 tot 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

10 kN @ 0 m50 kN @ 6 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 240 mm, buitenhoogte H = 250 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 12 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 240 mmH = 250 mmt = 12 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 70 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 40 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 10 MPa en σᵧ = 100 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 110 MPa bereikt?

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 300 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 17 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 20 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 20 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1788 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 150000·600/5,034 × 10⁸ = 0,1788 mm

Antwoord

δ = 0,1788 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 8,377 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 20000·314159/596903 = 10526 N

Spanning

σ₂ = 10526/1257 = 8,377 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 8,377 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 4,04 °

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·613592) = 0,07052 rad

φ = 0,07052·180/π = 4,04°

Antwoord

φ = 4,04°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,7781 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,5/2,7 = 555,6 N·m

T_B = 1000·1,2/2,7 = 444,4 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 555556·1200/(80000·613592) = 0,01358 rad = 0,7781°

Antwoord

φ_C = 0,7781°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −47,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −10·3,5 = −35 kN·m

w: −2·3,5²/2 = −12,25 kN·m

M_x = −35 − 12,25 = −47,25 kN·m

Antwoord

M_x = −47,25 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 12 kN, R₂ = 72 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −11, M_D = −18, M_E = −31, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −50 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 96,77 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 216 mm, h = 226 mm

A = BH − bh = 240·250 − 216·226 = 11184 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,047 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,047 × 10⁸/11184) = 96,77 mm

Antwoord

r = 96,77 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 78,24 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1600·70)/(24000 − 1600) = 102,1 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,143² = 80,11 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·40³/12 + 1600·−32,14² = 1,866 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 78,24 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 78,24 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 31,62 MPa

Benodigde straal

C = (10 + 100)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 55 = 55 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 45²) = 31,62 MPa

Antwoord

τ_xy = 31,62 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 1,783

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 100 MPa, R = 78,1 MPa

σ₁ = 178,1 MPa, σ₂ = 21,9 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(178,1² − 178,1·21,9 + 21,9²) = 168,2 MPa

n = 300/168,2 = 1,783

Antwoord

n = 1,783

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,00623 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,00623 rad

Antwoord

θ_A = 0,00623 rad

Dat is 0,357°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 3,418 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·5000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,383 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 2,035 mm

Tel ze op

δ_max = 1,383 + 2,035 = 3,418 mm

Antwoord

δ_max = 3,418 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 42,64 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Antwoord

P_cr = 42,64 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 40,08 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 40,08 mm

Antwoord

d = 40,08 mm

Controle: de slankheid KL/r is 249,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials