Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1800 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind de dwarskracht V_x net links van oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 7 mP₁ = 55 kN op 1 mP₂ = 10 kN op 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 6 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 150 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 300 mmuitsparing: 40 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 28 kNL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 10 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 10 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 73,56 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,4/5,438 × 10⁻⁶ = 73559 N = 73,56 kN

Antwoord

P = 73,56 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 16,2 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·345575/509200 = 20360 N

Spanning

σ₂ = 20360/1257 = 16,2 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 16,2 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,577 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·38350) = 0,1672 rad

φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Antwoord

φ = 9,577°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 18,9 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Antwoord

d = 18,9 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = −10,83 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1 + 10·7

R_B = 125/6 = 20,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 20,83 = 44,17 kN

Snede net links van B, houd het linkerdeel over

V_x = R_A − P₁ = 44,17 − 55 = −10,83 kN

Antwoord

V_x = −10,83 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 5 kN, R₂ = 40 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 3, M_C = 2, M_D = −3, M_E = −12, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −25 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

lijf: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·165 + 2880·80)/4880 = 114,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·10³/12 + 2000·(165 − 114,8)² = 5,05 × 10⁶ mm⁴

lijf: 18·160³/12 + 2880·(80 − 114,8)² = 9,639 × 10⁶ mm⁴

I_x = 5,05 × 10⁶ + 9,639 × 10⁶ = 1,469 × 10⁷ mm⁴ = 14,69 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 14,69 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (45000·150 − 1600·195)/(45000 − 1600) = 148,3 mm

Volle plaat om ȳ

150·300³/12 + 45000·1,659² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·40³/12 + 1600·46,66² = 3,697 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −50,65 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −10/50,99 = −0,1961, sin 2θ_s = −50/50,99 = −0,9806

2θ_s = atan2(−50, −10) = −101,3°

Hoek op het element

θ_s = −50,65°

controle: θ_s − θ_p = −50,65 − (−5,655) = −45°

Antwoord

θ_s = −50,65°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 49,39 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 10 + 0·0,1736 + 40·0,9848 = 49,39 MPa

Antwoord

σ_θ = 49,39 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 4,185 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 4,185 mm

Antwoord

δ_max = 4,185 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 49,3 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 24,65 mm

Tel beide lasten op

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 49,3 mm

Antwoord

δ_max = 49,3 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 28,42 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2500² = 28424 N = 28,42 kN

Antwoord

P_cr = 28,42 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 35,89 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 35,89 mm

Antwoord

d = 35,89 mm

Controle: de slankheid KL/r is 167,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials