Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 75 kW overbrengen bij 300 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 75 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 20 kN·m op x = 2 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mM₀ = 20 kN·m rechtsom, op 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 40 kN op 2 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 260 mm breed met twee opstaande benen, 140 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 260 mmh = 140 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 8 mm dik. Het draagt een buigend moment van 50 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 200 mmH = 460 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = −60 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 4 mP = 25 kN op 2 m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 22,74 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/1,1 × 10⁻⁵ = 22735 N = 22,74 kN

Antwoord

P = 22,74 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 26,53 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 50000·418879/628319 = 33333 N

Spanning

σ₂ = 33333/1257 = 26,53 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 26,53 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 17,1 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·15708) = 0,2984 rad

φ = 0,2984·180/π = 17,1°

Antwoord

φ = 17,1°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 66,68 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·60·0,6836)) = 66,68 mm

d_i = 0,75·66,68 = 50,01 mm

Antwoord

d_o = 66,68 mm

Een massieve as zou d = 58,74 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 10 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/4 = 5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −5 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·2 + 20 = 10 kN·m

Antwoord

M_x = 10 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 54 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 2·5·2,5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 21 = 29 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 29·2 − 2·2·1 = 54 kN·m

Antwoord

M_x = 54 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 8,213 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 260·8 = 2080 mm², y₁ = 4 mm

twee benen: A₂ = 2·8·132 = 2112 mm², y₂ = 8 + 132/2 = 74 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2080·4 + 2112·74)/4192 = 39,27 mm

Stelling van Steiner

basis: 260·8³/12 + 2080·(4 − 39,27)² = 2,598 × 10⁶ mm⁴

twee benen: 2·8·132³/12 + 2112·(74 − 39,27)² = 5,614 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,598 × 10⁶ + 5,614 × 10⁶

I_x = 8,213 × 10⁶ mm⁴ = 8,213 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 8,213 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 36,8 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·12 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·460³ − 192·436³)/12

I_x = 2,962 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 230 − 12 = 218 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·218/2,962 × 10⁸ = 36,8 MPa

Antwoord

σ_j = 36,8 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 75 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 55 MPa, R = √(45² + (−60)²) = 75 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(150, 130, 20)/2 = 75 MPa

Antwoord

τ_abs = 75 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 45 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −45·−1 + 20·0 = 45 MPa

Antwoord

τ_θ = 45 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 19,38 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 19,38 mm

Antwoord

δ_max = 19,38 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 18,75 kN·m

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 50 − 31,25 = 18,75 kN·m

Antwoord

M_A = 18,75 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,757 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5,757 kN

Antwoord

P_cr = 5,757 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials