Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 200 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 200 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 10 kW overbrengen bij 750 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 35 kN op 4,5 mw = 3 kN/m van 0 tot 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 5 mP = 15 kN op 3 mw = 6 kN/m van 0 tot 5 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 18 mm dik, een totale hoogte van 240 mm en een lijf van 6 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 200 mmH = 240 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Het element wordt 25° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 355 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 2 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 20 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 6 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,06672 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 200000·300/8,993 × 10⁸ = 0,06672 mm

Antwoord

δ = 0,06672 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 398,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0007143) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·6,637 × 10⁸ = 398197 N = 398,2 kN

Antwoord

P_max = 398,2 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 55,13 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 55,13 mm

d_i = 0,7·55,13 = 38,59 mm

Antwoord

d_o = 55,13 mm

Een massieve as zou d = 50,31 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 25,31 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Antwoord

d = 25,31 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −101 kN·m

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −35·2,5 = −87,5 kN·m

w: −3·3²/2 = −13,5 kN·m

M_x = −87,5 − 13,5 = −101 kN·m

Antwoord

M_x = −101 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 36 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3 + 6·5·2,5

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 24 = 21 kN

Waar is V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 3 kN

V(3⁺) = 3 − 15 = −12 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 21·3 − 6·3²/2 = 36 kN·m

Antwoord

M_max = 36 kN·m

Dat is op x = 3 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 93,15 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 240 − 2·18 = 204 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·240³ − 194·204³)/12

I_x = 9,315 × 10⁷ mm⁴ = 93,15 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 93,15 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 15,28 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

lijf: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·307,5 + 4200·150)/6300 = 202,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·15³/12 + 2100·(307,5 − 202,5)² = 2,319 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·300³/12 + 4200·(150 − 202,5)² = 4,308 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,319 × 10⁷ + 4,308 × 10⁷ = 6,627 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 202,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·202,5/6,627 × 10⁷ = 15,28 MPa

Antwoord

σ_onder = 15,28 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −48,8 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −75 − (−5)·0,6428 − (−30)·0,766 = −48,8 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −101,2 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −150 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −48,8 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,336

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 90 MPa, R = 70,71 MPa

σ₁ = 160,7 MPa, σ₂ = 19,29 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(160,7² − 160,7·19,29 + 19,29²) = 152 MPa

n = 355/152 = 2,336

Antwoord

n = 2,336

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 35,13 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·1000²/(3·2,53 × 10¹¹·3000) = 35,13 mm

Antwoord

δ_P = 35,13 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 27 kN·m

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13,5 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 108 − 81 = 27 kN·m

Antwoord

M_A = 27 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 224,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224,2 kN

Antwoord

P_cr = 224,2 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 21,93 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Antwoord

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials