Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 100 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 1000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 25 kN·m op x = 2 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mM₀ = 25 kN·m rechtsom, op 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 4 mw = 6 kN/m van 0 tot 2 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 80 MPa en σᵧ = −20 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 115 MPa bereikt?

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 400 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τ_n| die langs de lasnaad werkt.

D = 400 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 60 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,08727 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 300000·300/1,031 × 10⁹ = 0,08727 mm

Antwoord

δ = 0,08727 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 318,3 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 318,3 MPa

Antwoord

σ_max = 318,3 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 5,404 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·79522) = 0,09431 rad

φ = 0,09431·180/π = 5,404°

Antwoord

φ = 5,404°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 20,89 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·143239/(π·80)) = 20,89 mm

Antwoord

d = 20,89 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/5 = 5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −5 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·2 + 25 = 15 kN·m

Antwoord

M_x = 15 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 1,5 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·1

R_B = 12/4 = 3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 3 = 9 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 9/6 = 1,5 m

Antwoord

x₀ = 1,5 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1963·60)/(24000 − 1963) = 103,6 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·−3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 49,55 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

lijf: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·152,5 + 1960·70)/6960 = 129,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·25³/12 + 5000·(152,5 − 129,3)² = 2,959 × 10⁶ mm⁴

lijf: 14·140³/12 + 1960·(70 − 129,3)² = 1,009 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,959 × 10⁶ + 1,009 × 10⁷ = 1,305 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 129,3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·129,3/1,305 × 10⁷ = 49,55 MPa

Antwoord

σ_onder = 49,55 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 68,74 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (80 + (−20))/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 30 = 85 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 50²) = 68,74 MPa

Antwoord

τ_xy = 68,74 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: |τ_n| = 12,31 MPa

Spanningen in de wand

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/8 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 50°·cos 50° = 12,31 MPa

Antwoord

|τ_n| = 12,31 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 5,022 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 5,022 mm

Antwoord

δ_max = 5,022 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 444,1 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444,1 kN

Antwoord

P_cr = 444,1 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 49,88 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 49,88 mm

Antwoord

d = 49,88 mm

Controle: de slankheid KL/r is 160,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials