Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1500 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 2,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_A bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 2,5 mP = 45 kN op 2,5 mw = 10 kN/m van 0 tot 2,5 m

M_A = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 12 m60 kN @ 2 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 220 mm breed en 16 mm dik, een totale hoogte van 400 mm en een lijf van 6 mm dik. Het draagt een buigend moment van 60 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 220 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Het element wordt 25° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/250. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 51,14 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3,41 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/9,777 × 10⁻⁶ = 51142 N = 51,14 kN

Antwoord

P = 51,14 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 317,4 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0005455) = 0,0005455 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0005455·5,82 × 10⁸ = 317444 N = 317,4 kN

Antwoord

P_max = 317,4 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 65,37 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·40·0,6836)) = 65,37 mm

d_i = 0,75·65,37 = 49,03 mm

Antwoord

d_o = 65,37 mm

Een massieve as zou d = 57,59 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 10,04 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·37,5/2,141 × 10⁶ = 10,04 MPa

Antwoord

τ_max = 10,04 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_A = −143,8 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −45·2,5 = −112,5 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −112,5 − 31,25 = −143,8 kN·m

Antwoord

M_A = −143,8 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 72 kN, R₂ = 78 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 132 kN·m, M_C = 120, M_D = 84, M_E = 24, M_F = −60, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = 132 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 27,51 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·210 + 2800·100)/6000 = 158,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·20³/12 + 3200·(210 − 158,7)² = 8,539 × 10⁶ mm⁴

lijf: 14·200³/12 + 2800·(100 − 158,7)² = 1,897 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,539 × 10⁶ + 1,897 × 10⁷ = 2,751 × 10⁷ mm⁴ = 27,51 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 27,51 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 38,79 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·400³ − 214·368³)/12

I_x = 2,846 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 200 − 16 = 184 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·184/2,846 × 10⁸ = 38,79 MPa

Antwoord

σ_j = 38,79 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 81,03 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 40 − (−40)·0,6428 − (−20)·0,766 = 81,03 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −1,032 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 81,03 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −25,22 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −5·0,9397 + −60·0,342 = −25,22 MPa

Antwoord

τ_θ = −25,22 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 4,037 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 4,037 mm

Antwoord

δ = 4,037 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 294,6 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/75)^1/3 = 294,6 mm

Antwoord

h_req = 294,6 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,366 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Antwoord

P_cr = 2,366 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials