Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 60 mm en lengte 2 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 1 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 100 kW overbrengen bij 750 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mP₁ = 75 kN op 2 mP₂ = 40 kN op 5 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 7 mw = 3 kN/m van 0 tot 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 18 mm dik, een totale hoogte van 500 mm en een lijf van 8 mm dik. Vind het elastische weerstandsmoment S_x voor buiging om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 200 mmH = 500 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 7 kNL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 125 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1592 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/70000 = 0,001592 = 1592 µε

Antwoord

ε = 1592 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 319 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5,317 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·5,317 × 10⁸ = 319029 N = 319 kN

Antwoord

P_max = 319 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 3,975 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01965 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(80000·251327) = 0,04974 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,01965 + 0,04974 = 0,06938 rad = 3,975°

Antwoord

φ_C = 3,975°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 50,62 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·50)) = 50,62 mm

Antwoord

d = 50,62 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 175 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·2 + 40·5

R_B = 350/10 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 35 = 80 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·2 = 80·2 = 160 kN·m

onder P₂: M = R_B·5 = 35·5 = 175 kN·m

Grootste waarde

M_max = 175 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 175 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 12,76 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·7·3,5

R_B = 73,5/6 = 12,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 21 − 12,25 = 8,75 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8,75/3 = 2,917 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8,75²/(2·3) = 12,76 kN·m

Antwoord

M_max = 12,76 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: S_x = 1940 × 10³ mm³

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 500 − 2·18 = 464 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·500³ − 192·464³)/12

I_x = 4,85 × 10⁸ mm⁴

Weerstandsmoment

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4,85 × 10⁸/250

S_x = 1,94 × 10⁶ mm³ = 1940 × 10³ mm³

Antwoord

S_x = 1940 × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 309,1 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

lijf: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·130 + 2400·60)/5600 = 100 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·20³/12 + 3200·(130 − 100)² = 2,987 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·120³/12 + 2400·(60 − 100)² = 6,72 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,987 × 10⁶ + 6,72 × 10⁶ = 9,707 × 10⁶ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 100 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·100/9,707 × 10⁶ = 309,1 MPa

Antwoord

σ_onder = 309,1 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 33,54 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((10 − 40)/2)² + 30²) = 33,54 MPa

Antwoord

τ_max = 33,54 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 1,34 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −10·0,866 + −20·−0,5 = 1,34 MPa

Antwoord

τ_θ = 1,34 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 76,7 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 76,7 mm

Antwoord

δ_max = 76,7 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 78,43 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, L = 5000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 39,21 mm

Tel beide lasten op

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 78,43 mm

Antwoord

δ_max = 78,43 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 12,56 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Antwoord

P_cr = 12,56 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 67,01 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 67,01 mm

Antwoord

d = 67,01 mm

Controle: de slankheid KL/r is 149,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials