Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 105 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, lengte 1,2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 30 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mP₁ = 10 kN op 2 mP₂ = 40 kN op 6 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 15 kN op 1 mw = 3 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 180 mm breed en 24 mm dik, een totale hoogte van 360 mm en een lijf van 10 mm dik. Het draagt een buigend moment van 50 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 180 mmH = 360 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 25° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 3,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 4 kNa = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 17 kNw = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,285 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/117000 = 0,002857 = 2857 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002857·1500 mm = 4,285 mm

Antwoord

δ = 4,285 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 10,79 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·691150/1,529 × 10⁶ = 13562 N

Spanning

σ₂ = 13562/1257 = 10,79 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 10,79 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,3126 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1200/(80000·2,749 × 10⁶) = 0,005457 rad

φ = 0,005457·180/π = 0,3126°

Antwoord

φ = 0,3126°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 25,6 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·60)) = 25,6 mm

Antwoord

d = 25,6 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 65 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 40·6

R_B = 260/8 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 32,5 = 17,5 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·2 = 17,5·2 = 35 kN·m

onder P₂: M = R_B·2 = 32,5·2 = 65 kN·m

Grootste waarde

M_max = 65 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 65 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15,75 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 3·4·2

R_B = 39/4 = 9,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 9,75 = 17,25 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 17,25·1 − 3·1·0,5 = 15,75 kN·m

Antwoord

M_x = 15,75 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

lijf: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·207,5 + 3600·100)/6900 = 151,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·15³/12 + 3300·(207,5 − 151,4)² = 1,044 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·200³/12 + 3600·(100 − 151,4)² = 2,152 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,044 × 10⁷ + 2,152 × 10⁷ = 3,196 × 10⁷ mm⁴ = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 31,96 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 28,93 MPa

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 360 − 2·24 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·360³ − 170·312³)/12

I_x = 2,696 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 180 − 24 = 156 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·156/2,696 × 10⁸ = 28,93 MPa

Antwoord

σ_j = 28,93 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −10,28 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 75 − 85·0,6428 − 40·0,766 = −10,28 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 160,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 150 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −10,28 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −36,96 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −60·0,866 + −30·−0,5 = −36,96 MPa

Antwoord

τ_θ = −36,96 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 17,23 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, a = 3500 mm, b = 4500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·3500²·4500²/(3·2,4 × 10¹²·8000) = 17,23 mm

Antwoord

δ_P = 17,23 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 15,67 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, w = 6 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 5,667 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10 mm

Tel ze op

δ_max = 5,667 + 10 = 15,67 mm

Antwoord

δ_max = 15,67 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,264 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5,264 kN

Antwoord

P_cr = 5,264 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials