Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 250 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 250 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 50 mm, binnendiameter 35 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 1 m van A, en een wringend moment van 750 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 2 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP₁ = 60 kN op 3 mP₂ = 10 kN op 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 0 m45 kN @ 6 m25 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 52,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/250. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 60 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 60 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1375 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 250000·600/1,091 × 10⁹ = 0,1375 mm

Antwoord

δ = 0,1375 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 9,821 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Spanning

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 9,821 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,575 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(39000·466269) = 0,0275 rad

φ = 0,0275·180/π = 1,575°

Antwoord

φ = 1,575°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 67,64 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 100 = 850 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·40³) = 67,64 MPa

Antwoord

τ_max = 67,64 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 66 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 10·6

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 48 = 22 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·3 = 22·3 = 66 kN·m

Antwoord

M_x = 66 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 81,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −36,67, M_D = −58,33, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −90 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 55,84 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·75 − 706,9·52,5)/(30000 − 706,9) = 75,54 mm

Volle plaat om ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,5429² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−23,04² = 0,4151 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 55,84 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 55,84 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 58,99 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

lijf: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 5400·150)/7600 = 194,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·10³/12 + 2200·(305 − 194,9)² = 2,67 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·300³/12 + 5400·(150 − 194,9)² = 5,137 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,67 × 10⁷ + 5,137 × 10⁷ = 7,807 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 310 − 194,9 = 115,1 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·115,1/7,807 × 10⁷ = 58,99 MPa

Antwoord

σ_boven = 58,99 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 74,33 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−70 − 40)/2)² + 50²) = 74,33 MPa

Antwoord

τ_max = 74,33 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −36,96 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + −10·0,5 + −60·0,866 = −36,96 MPa

Antwoord

σ_θ = −36,96 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 11,99 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 11,99 mm

Antwoord

δ_max = 11,99 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 221 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/75)^1/3 = 221 mm

Antwoord

h_req = 221 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 182,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/3000² = 182770 N = 182,8 kN

Antwoord

P_cr = 182,8 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 40,86 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 40,86 mm

Antwoord

d = 40,86 mm

Controle: de slankheid KL/r is 146,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sterkteleer: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Torsie van assen

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Methode

Doorbuiging van de balk

Knik van kolommen

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Oppervlakken

Gecombineerde axiale stijfheid

Verkorting

Antwoord

Stijfheden

Aandeel van segment 2

Spanning

Antwoord

Polair traagheidsmoment

Wringhoek

Antwoord

Inwendige wringende momenten

Maximale schuifspanning

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Buigend moment bij elke markering

Antwoord

Zwaartepunt

Volle plaat om ȳ

Gat om ȳ

Trek af

Antwoord

Verdeel in twee rechthoeken

Zwaartepunt

Stelling van Steiner

Buigspanning

Antwoord

Straal van de cirkel van Mohr

Antwoord

Transformatieformule

Antwoord

Consistente eenheden

Doorbuiging

Antwoord

Consistente eenheden

Doorbuigingseis

Benodigd traagheidsmoment

Benodigde hoogte

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Kniklengte

Kritieke belasting

Antwoord

Benodigde kritieke belasting

Los op naar de diameter

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over