Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 250 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 250 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 5 kN/m van 0 tot 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 60 kN op 4 mw = 4 kN/m van 0 tot 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 260 mm breed met twee opstaande benen, 90 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 10 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 260 mmh = 90 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 15° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2732 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 250000·800/7,32 × 10⁸ = 0,2732 mm

Antwoord

δ = 0,2732 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 619,7 kN

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0006) = 0,0006 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·1,033 × 10⁹ = 619679 N = 619,7 kN

Antwoord

P_max = 619,7 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,338 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·38350) = 0,163 rad

φ = 0,163·180/π = 9,338°

Antwoord

φ = 9,338°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 22,11 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Antwoord

d = 22,11 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 4,375 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 10·3,5 − 5·3,5·1,75 = 4,375 kN·m

Antwoord

M_x = 4,375 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4 + 4·6·3

R_B = 312/6 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 52 = 32 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 32·0,5 − 4·0,5·0,25 = 15,5 kN·m

Antwoord

M_x = 15,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 2,881 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

twee benen: A₂ = 2·10·80 = 1600 mm², y₂ = 10 + 80/2 = 50 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2600·5 + 1600·50)/4200 = 22,14 mm

Stelling van Steiner

basis: 260·10³/12 + 2600·(5 − 22,14)² = 785748 mm⁴

twee benen: 2·10·80³/12 + 1600·(50 − 22,14)² = 2,095 × 10⁶ mm⁴

I_x = 785748 + 2,095 × 10⁶

I_x = 2,881 × 10⁶ mm⁴ = 2,881 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 2,881 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 162,6 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

lijf: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·247,5 + 3360·120)/7860 = 193 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·15³/12 + 4500·(247,5 − 193)² = 1,345 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·240³/12 + 3360·(120 − 193)² = 3,403 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,345 × 10⁷ + 3,403 × 10⁷ = 4,748 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 193 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·193/4,748 × 10⁷ = 162,6 MPa

Antwoord

σ_onder = 162,6 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −28,15 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 30/54,08 = 0,5547, sin 2θ_s = −45/54,08 = −0,8321

2θ_s = atan2(−45, 30) = −56,31°

Hoek op het element

θ_s = −28,15°

controle: θ_s − θ_p = −28,15 − 16,85 = −45°

Antwoord

θ_s = −28,15°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −5,359 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −80·0,5 + 40·0,866 = −5,359 MPa

Antwoord

τ_θ = −5,359 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,003835 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,003835 rad

Antwoord

θ_A = 0,003835 rad

Dat is 0,2197°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6,944) = 1,332 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 238,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2100² = 238721 N = 238,7 kN

Antwoord

P_cr = 238,7 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 48,34 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 48,34 mm

Antwoord

d = 48,34 mm

Controle: de slankheid KL/r is 115,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials