Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 55 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 105 kNdeel 1: Ø25 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1800 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mP₁ = 30 kN op 2 mP₂ = 80 kN op 2,5 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mw = 4 kN/m van 1 tot 3 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 100 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 30 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 70 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 200 mmuitsparing: 50 × 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 10 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 50 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 50 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,601 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 112/70000 = 0,001601 = 1601 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001601·1000 mm = 1,601 mm

Antwoord

δ = 1,601 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,163 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·2000/117000 = 3,656 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334,2·1500/200000 = 2,507 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,163 mm

Antwoord

δ = 6,163 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,993 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·613592) = 0,05224 rad

φ = 0,05224·180/π = 2,993°

Antwoord

φ = 2,993°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 8,533 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/466269 = 8,533 MPa

Antwoord

τ_max = 8,533 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 97,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 80·2,5

R_B = 260/4 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 65 = 45 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·2 = 45·2 = 90 kN·m

onder P₂: M = R_B·1,5 = 65·1,5 = 97,5 kN·m

Grootste waarde

M_max = 97,5 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 97,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 6 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·2·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 4/4 = 2 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 4·2 − 4·1²/2 = 6 kN·m

Antwoord

M_max = 6 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 53,5 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

lijf: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·270 + 3120·130)/7520 = 211,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·20³/12 + 4400·(270 − 211,9)² = 1,499 × 10⁷ mm⁴

lijf: 12·260³/12 + 3120·(130 − 211,9)² = 3,851 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,499 × 10⁷ + 3,851 × 10⁷ = 5,35 × 10⁷ mm⁴ = 53,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 53,5 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 65,09 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (20000·100 − 1500·70)/(20000 − 1500) = 102,4 mm

Volle plaat om ȳ

100·200³/12 + 20000·−2,432² = 66,79 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·30³/12 + 1500·−32,43² = 1,69 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 65,09 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 65,09 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 65,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 90 MPa, R = √((−10)² + 40²) = 41,23 MPa

σ₁ = 131,2 MPa, σ₂ = 48,77 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82,46, 131,2, 48,77)/2 = 65,62 MPa

Antwoord

τ_abs = 65,62 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 49,93 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−40·0,766 + 30·0,6428 = 49,93 MPa

Antwoord

τ_θ = 49,93 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 15,98 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 15,98 mm

Antwoord

δ = 15,98 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 42,61 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·3000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 8,971 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 33,64 mm

Tel ze op

δ_max = 8,971 + 33,64 = 42,61 mm

Antwoord

δ_max = 42,61 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 55,56 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

Antwoord

P_cr = 55,56 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 60,67 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 60,67 mm

Antwoord

d = 60,67 mm

Controle: de slankheid KL/r is 115,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials