Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 50 mm, binnendiameter 25 mm, lengte 3 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 15 kW over bij 1500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,75° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4 m vanaf A. Vind het buigend moment M_A bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 55 kN op 4 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 m

M_A = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 55 kN op 1,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 190 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 440 mm en een lijf van 6 mm dik. Het draagt een buigend moment van 50 kN·m om de as x. Vind de grootte van de maximale buigspanning σ_max in de doorsnede.

B = 190 mmH = 440 mmt_f = 20 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 355 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 0,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 6 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 3 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 40 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 15279 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1528/100000 = 0,01528 = 15279 µε

Antwoord

ε = 15279 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 16,71 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·293215/418879 = 21000 N

Spanning

σ₂ = 21000/1257 = 16,71 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 16,71 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 4,597 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Wringhoek

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(26000·575243) = 0,08023 rad

φ = 0,08023·180/π = 4,597°

Antwoord

φ = 4,597°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,04 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Diameter op sterkte

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,04 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(18,65, 31,04) = 31,04 mm

Antwoord

d = 31,04 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_A = −316 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −55·4 = −220 kN·m

w: −12·4²/2 = −96 kN·m

M_A = −220 − 96 = −316 kN·m

Antwoord

M_A = −316 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 102,4 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1,5 + 12·6·3

R_B = 298,5/6 = 49,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 127 − 49,75 = 77,25 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 77,25·1,5 − 12·1,5·0,75 = 102,4 kN·m

Antwoord

M_x = 102,4 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 706,9·120)/(36000 − 706,9) = 150,6 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·−0,6008² = 270 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,6² = 0,7017 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_max = 29,94 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 440 − 2·20 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·440³ − 184·400³)/12

I_x = 3,674 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 220 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·220/3,674 × 10⁸ = 29,94 MPa

Antwoord

σ_max = 29,94 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −32,4 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 40/93,94 = 0,4258, sin 2θ_s = −85/93,94 = −0,9048

2θ_s = atan2(−85, 40) = −64,8°

Hoek op het element

θ_s = −32,4°

controle: θ_s − θ_p = −32,4 − 12,6 = −45°

Antwoord

θ_s = −32,4°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,11

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 40 MPa, R = 94,34 MPa

σ₁ = 134,3 MPa, σ₂ = −54,34 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(134,3² − 134,3·(−54,34) + (−54,34)²) = 168,2 MPa

n = 355/168,2 = 2,11

Antwoord

n = 2,11

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 38,77 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,674 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008021 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 38,77 mm

Antwoord

δ_B = 38,77 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 16,88 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Antwoord

R_B = 16,88 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 33,69 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/5000² = 33688 N = 33,69 kN

Antwoord

P_cr = 33,69 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 55,42 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 55,42 mm

Antwoord

d = 55,42 mm

Controle: de slankheid KL/r is 144,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials