Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 85 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø20 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 1 m draagt een wringend moment van 100 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 100 N·mL = 1 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 25 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 2,5 m van A, en een wringend moment van 750 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind de dwarskracht V_x net links van oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 7 mP₁ = 25 kN op 4 mP₂ = 20 kN op 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind de afstand x_c van A tot het momentennulpunt tussen de opleggingen (waar het buigend moment van teken wisselt).

L = 5 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m

x_c = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 15 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Het element wordt 30° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 2 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 20 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 6 mP = 20 kN op 3 m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 16,44 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/1,521 × 10⁻⁵ = 16439 N = 16,44 kN

Antwoord

P = 16,44 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,828 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 120,3·2000/200000 = 1,203 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·2000/117000 = 4,625 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,828 mm

Antwoord

δ = 5,828 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 32,55 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1000/(26000·0,03491) = 110184 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 32,55 mm

Antwoord

d = 32,55 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 277,1 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 100 = 850 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 850 N·m

τ_max = 16·850000/(π·25³) = 277,1 MPa

Antwoord

τ_max = 277,1 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = −20 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4 + 20·7

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 40 = 5 kN

Snede net links van B, houd het linkerdeel over

V_x = R_A − P₁ = 5 − 25 = −20 kN

Antwoord

V_x = −20 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x_c = 3,75 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5·2,5

R_B = 25/4 = 6,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 6,25 = 3,75 kN

Moment nul

Tussen de opleggingen is M(x) = R_A·x − w·x²/2. Afgezien van x = 0 is het nul bij x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·3,75/2 = 3,75 m

Antwoord

x_c = 3,75 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 5,131 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

lijf: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·132,5 + 960·60)/3960 = 114,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·25³/12 + 3000·(132,5 − 114,9)² = 1,083 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·120³/12 + 960·(60 − 114,9)² = 4,048 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,083 × 10⁶ + 4,048 × 10⁶ = 5,131 × 10⁶ mm⁴ = 5,131 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 5,131 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 25,23 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

lijf: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·267,5 + 5200·130)/7600 = 173,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·15³/12 + 2400·(267,5 − 173,4)² = 2,129 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·260³/12 + 5200·(130 − 173,4)² = 3,91 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,129 × 10⁷ + 3,91 × 10⁷ = 6,038 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 275 − 173,4 = 101,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·101,6/6,038 × 10⁷ = 25,23 MPa

Antwoord

σ_boven = 25,23 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 49,82 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −5 − (−75)·0,5 − (−20)·0,866 = 49,82 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −59,82 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 49,82 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 114,4 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 70 + 20·0,342 + 40·0,9397 = 114,4 MPa

Antwoord

σ_θ = 114,4 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 67,34 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·1000²/(3·1,32 × 10¹¹·3000) = 67,34 mm

Antwoord

δ_P = 67,34 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 22,5 kN·m

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 60 − 37,5 = 22,5 kN·m

Antwoord

M_A = 22,5 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 355,3 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1000² = 355306 N = 355,3 kN

Antwoord

P_cr = 355,3 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 6,747 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Antwoord

σ_cr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials