Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 90 kNdeel 1: Ø35 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 5 kW overbrengen bij 750 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 3 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 15 kN op 1 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 200 mm, buitenhoogte H = 325 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 8 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 200 mmH = 325 mmt = 8 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Het element wordt 30° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 110 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1200 mm en wanddikte 6 mm bevat gas met een overdruk van 1,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 40° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 45 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 45 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 2474 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/70000 = 0,002474 = 2474 µε

Antwoord

ε = 2474 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 7,283 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·2000/117000 = 1,599 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·500/70000 = 5,684 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,283 mm

Antwoord

δ = 7,283 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,119 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·15708) = 0,1592 rad

φ = 0,1592·180/π = 9,119°

Antwoord

φ = 9,119°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 17,93 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·60·0,9375)) = 17,93 mm

d_i = 0,5·17,93 = 8,965 mm

Antwoord

d_o = 17,93 mm

Een massieve as zou d = 17,55 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 21,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 46,67, M_D = 65 kN·m, M_E = 43,33, M_F = 21,67, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 65 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15,88 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 4·8·4

R_B = 143/8 = 17,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 17,88 = 29,13 kN

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 29,13·7 − 15·(7 − 1) − 4·7·3,5 = 15,88 kN·m

Antwoord

M_x = 15,88 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 121,3 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 184 mm, h = 309 mm

A = BH − bh = 200·325 − 184·309 = 8144 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,197 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,197 × 10⁸/8144) = 121,3 mm

Antwoord

r = 121,3 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 52,07 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

lijf: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·190 + 3600·90)/8400 = 147,1 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·20³/12 + 4800·(190 − 147,1)² = 8,976 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·180³/12 + 3600·(90 − 147,1)² = 2,148 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,976 × 10⁶ + 2,148 × 10⁷ = 3,045 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 200 − 147,1 = 52,86 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·52,86/3,045 × 10⁷ = 52,07 MPa

Antwoord

σ_boven = 52,07 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 99,64 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 80 − 30·0,5 − 40·(−0,866) = 99,64 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 60,36 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 99,64 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 119 MPa

Spanningen in de wand

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/6 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 75·sin²40° + 150·cos²40° = 119 MPa

Antwoord

σ_n = 119 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 1,994 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,994 mm

Antwoord

δ_max = 1,994 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 101,3 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·200000·16,67) = 1,012 × 10⁸ mm⁴

I_req = 101,3 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 101,3 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 155,4 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1000² = 155446 N = 155,4 kN

Antwoord

P_cr = 155,4 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 87,81 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,81 mm

Antwoord

d = 87,81 mm

Controle: de slankheid KL/r is 364,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials