Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 16 mmMessing1 mP = 90 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø20120 GPaØ80/60800 mm

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
d = ?20 kW, 750 rpm

Een massieve as van aluminium brengt 20 kW over bij 750 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
30 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 5 m60 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
4 kN/m60 kN15 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 0 m15 kN @ 6 m20 kN @ 2 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
100 mm240 mm84 mmØ50xIx​ = ?

Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 84 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
120 mm300 mm195 mm60 × 20xIx​ = ?

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmuitsparing: 60 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −60σy​ = 10τxy​ = 30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = −20σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σvM.

σx = −20 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 6 kN/mP = 24 kNABδ1,5 m

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 15 kN/mδL = 8 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 6 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
P = 100 kNL = 2 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 100 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 100 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (staal)
d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 4476 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 90·1000/201,1 = 447,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 447,6/100000 = 0,004476 = 4476 µε

Antwoord

ε = 4476 µε
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 217,8 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·2199 = 3,267 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (koper)

Grootste belasting

Pmax = 0,0006667·3,267 × 10⁸ = 217817 N = 217,8 kN

Antwoord

Pmax = 217,8 kN
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 4,274 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0,0746 rad
φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Antwoord

φ = 4,274°
4.Torsie van assen

Antwoord: d = 58,15 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Diameter op sterkte

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm
dτ = ∛(16·254648/(π·60)) = 27,86 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·254648/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 58,15 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(27,86, 58,15) = 58,15 mm

Antwoord

d = 58,15 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 35 kN, R2 = 55 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 35, MC = 70, MD = 105 kN·m, ME = 80, MF = 55, MG = 0

Antwoord

Markering D: MD = 105 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 1 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 89,33 kN, R2 = 17,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −32,67, MD = −29,33, ME = −30, MF = −15, MG = 0

Antwoord

Markering B: MB = −60 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·120 − 1963·84)/(24000 − 1963) = 123,2 mm

Volle plaat om ȳ

100·240³/12 + 24000·−3,208² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−39,21² = 3,325 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 112,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 112,1 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 1200·195)/(36000 − 1200) = 148,4 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·1,552² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

60·20³/12 + 1200·46,55² = 2,64 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = 69,7 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −60 − 10) = 139,4°

Hoek op het element

θp = 69,7°

Antwoord

θp = 69,7°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σvM = 67,82 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σY bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σY/2 bereikt.

στxyCσ1​σ2​

Hoofdspanningen

C = 5 MPa, R = 39,05 MPa
σ1 = 44,05 MPa, σ2 = −34,05 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(44,05² − 44,05·(−34,05) + (−34,05)²) = 67,82 MPa

Antwoord

σvM = 67,82 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 4,277 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δP = PL³/(3EI) = 24000·1500³/(3·7,2 × 10¹²) = 3,75 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 0,5273 mm

Tel ze op

δ = 3,75 + 0,5273 = 4,277 mm

Antwoord

δ = 4,277 mm
12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 12,02 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4200² = 12016 N = 12,02 kN

Antwoord

Pcr = 12,02 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 59,32 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,32 mm

Antwoord

d = 59,32 mm

Controle: de slankheid KL/r is 134,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials