Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 50 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 1,5 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 250 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 30 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 75 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

20 kN @ 10 m15 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 5 mw = 16 kN/m van 2 tot 4 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 300 mm breed met twee opstaande benen, 110 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 20 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 300 mmh = 110 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 180 × 10 mm, een lijf van 150 mm hoog en 16 mm dik, en een onderflens van 220 × 12 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 180 × 10 mmlijf: 16 × 150 mmonderflens: 220 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 125 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 145 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 145 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 5101 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/117000 = 0,005101 = 5101 µε

Antwoord

ε = 5101 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 753,7 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0006364) = 0,0006364 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0006364·1,184 × 10⁹ = 753697 N = 753,7 kN

Antwoord

P_max = 753,7 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 159,2 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Antwoord

τ_max = 159,2 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 23,76 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·75)) = 23,76 mm

Antwoord

d = 23,76 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 90,83 kN, R₂ = 79,17 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 151,7, M_C = 243,3, M_D = 275 kN·m, M_E = 246,7, M_F = 158,3, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 275 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 2,8 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·2·3

R_B = 96/5 = 19,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 19,2 = 12,8 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 12,8/16 = 2,8 m

Antwoord

x₀ = 2,8 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 9,436 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 300·20 = 6000 mm², y₁ = 10 mm

twee benen: A₂ = 2·20·90 = 3600 mm², y₂ = 20 + 90/2 = 65 mm

Zwaartepunt

ȳ = (6000·10 + 3600·65)/9600 = 30,63 mm

Stelling van Steiner

basis: 300·20³/12 + 6000·(10 − 30,63)² = 2,752 × 10⁶ mm⁴

twee benen: 2·20·90³/12 + 3600·(65 − 30,63)² = 6,684 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,752 × 10⁶ + 6,684 × 10⁶

I_x = 9,436 × 10⁶ mm⁴ = 9,436 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 9,436 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 32,67 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1800 mm², y = 167 mm

lijf: A = 2400 mm², y = 87 mm

onderflens: A = 2640 mm², y = 6 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1800·167 + 2400·87 + 2640·6)/6840 = 76,79 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 180·10³/12 + 1800·90,21² = 1,466 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·150³/12 + 2400·10,21² = 4,75 × 10⁶ mm⁴

onderflens: 220·12³/12 + 2640·70,79² = 1,326 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,466 × 10⁷ + 4,75 × 10⁶ + 1,326 × 10⁷

I_x = 3,267 × 10⁷ mm⁴ = 32,67 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 32,67 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −13,28 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = 40/44,72 = 0,8944, sin 2θ_s = −20/44,72 = −0,4472

2θ_s = atan2(−20, 40) = −26,57°

Hoek op het element

θ_s = −13,28°

controle: θ_s − θ_p = −13,28 − 31,72 = −45°

Antwoord

θ_s = −13,28°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −11,01 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 0 + −50·−0,1736 + −20·0,9848 = −11,01 MPa

Antwoord

σ_θ = −11,01 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 16,08 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 16,08 mm

Antwoord

δ_max = 16,08 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 180,1 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·11,67) = 6,09 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·6,09 × 10⁷/125)^1/3 = 180,1 mm

Antwoord

h_req = 180,1 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 140,4 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/750² = 140368 N = 140,4 kN

Antwoord

P_cr = 140,4 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 83,19 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,19 mm

Antwoord

d = 83,19 mm

Controle: de slankheid KL/r is 192,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials