Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 800 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 40 mm, binnendiameter 30 mm, lengte 1,2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 200 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 200 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 25 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 0,5 m van A en 1,2 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 25 mmT₀ = 200 N·ma = 0,5 mb = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 40 kN·m op x = 7 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mM₀ = 40 kN·m rechtsom, op 7 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 144 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 190 × 18 mm, een lijf van 210 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 160 × 12 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 190 × 18 mmlijf: 12 × 210 mmonderflens: 160 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 1,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2026 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Verkorting

δ = 300000·800/1,184 × 10⁹ = 0,2026 mm

Antwoord

δ = 0,2026 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 401,6 kN

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0004545) = 0,0004545 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0004545·8,836 × 10⁸ = 401624 N = 401,6 kN

Antwoord

P_max = 401,6 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,052 °

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Wringhoek

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·1200/(39000·171806) = 0,03582 rad

φ = 0,03582·180/π = 2,052°

Antwoord

φ = 2,052°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 2,704 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,2/1,7 = 141,2 N·m

T_B = 200·0,5/1,7 = 58,82 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 141176·500/(39000·38350) = 0,0472 rad = 2,704°

Antwoord

φ_C = 2,704°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −35 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/8 = 5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −5 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −5·7 = −35 kN·m

Antwoord

M_x = −35 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 78,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −43,33, M_D = 13,33, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = −100 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·120 − 1257·144)/(36000 − 1257) = 119,1 mm

Volle plaat om ȳ

150·240³/12 + 36000·0,8681² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24,87² = 0,9028 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 73,5 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 3420 mm², y = 231 mm

lijf: A = 2520 mm², y = 117 mm

onderflens: A = 1920 mm², y = 6 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3420·231 + 2520·117 + 1920·6)/7860 = 139,5 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 190·18³/12 + 3420·91,51² = 2,873 × 10⁷ mm⁴

lijf: 12·210³/12 + 2520·22,49² = 1,054 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 160·12³/12 + 1920·133,5² = 3,424 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,873 × 10⁷ + 1,054 × 10⁷ + 3,424 × 10⁷

I_x = 7,35 × 10⁷ mm⁴ = 73,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 73,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −21,35 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 130 − 0) = −42,71°

Hoek op het element

θ_p = −21,35°

Antwoord

θ_p = −21,35°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 24,11 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 60 + −50·0,342 + −20·0,9397 = 24,11 MPa

Antwoord

σ_θ = 24,11 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 3,445 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1500²·3500²/(3·1,12 × 10¹³·5000) = 3,445 mm

Antwoord

δ_P = 3,445 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 139,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·2,284 × 10⁷/100)^1/3 = 139,9 mm

Antwoord

h_req = 139,9 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 17,8 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17,8 kN

Antwoord

P_cr = 17,8 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwoord

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials