Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 60 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 56 mm, lengte 2,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 30 kW overbrengen bij 3000 rpm. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 4 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 10 kN/m van 0 tot 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mw = 24 kN/m van 3 tot 7 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 110 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 10 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 110 mmH = 460 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 100 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 60 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 150 mmuitsparing: 30 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 41,38 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Belasting

P = 0,3/7,25 × 10⁻⁶ = 41377 N = 41,38 kN

Antwoord

P = 41,38 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 676,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·8482 = 1,159 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0005833) = 0,0005833 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0005833·1,159 × 10⁹ = 676228 N = 676,2 kN

Antwoord

P_max = 676,2 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,8364 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(80000·2,141 × 10⁶) = 0,0146 rad

φ = 0,0146·180/π = 0,8364°

Antwoord

φ = 0,8364°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 20 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·80·0,7599)) = 20 mm

d_i = 0,7·20 = 14 mm

Antwoord

d_o = 20 mm

Een massieve as zou d = 18,25 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 80 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Snijd bij x = 4 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 40·4 − 10·4·2 = 80 kN·m

Antwoord

M_x = 80 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 192 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·4·5

R_B = 480/10 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 48/24 = 5 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 48·5 − 24·2²/2 = 192 kN·m

Antwoord

M_max = 192 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 201,6 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·12 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·460³ − 100·436³)/12

I_x = 2,016 × 10⁸ mm⁴ = 201,6 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 201,6 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 27,67 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (15000·75 − 1200·60)/(15000 − 1200) = 76,3 mm

Volle plaat om ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,304² = 28,15 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·40³/12 + 1200·−16,3² = 0,479 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 27,67 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 27,67 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 6,264 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 120 − 30) = 12,53°

Hoek op het element

θ_p = 6,264°

Antwoord

θ_p = 6,264°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 149,4 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 120 + 30·0,766 + 10·0,6428 = 149,4 MPa

Antwoord

σ_θ = 149,4 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 3,884 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,942 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001942 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,884 mm

Antwoord

δ_B = 3,884 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 2,357 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 1,55 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 0,8073 mm

Tel ze op

δ_max = 1,55 + 0,8073 = 2,357 mm

Antwoord

δ_max = 2,357 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 954,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1050² = 954882 N = 954,9 kN

Antwoord

P_cr = 954,9 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 57,78 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Antwoord

d = 57,78 mm

Controle: de slankheid KL/r is 138,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials