Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 20 mm getordeerd door een wringend moment van 40 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 300 mm verdraaien 1,68° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 40 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1,68°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 15 kW over bij 500 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 8 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 25 kN op 1,5 mw = 8 kN/m van 0 tot 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 300 mm, buitenhoogte H = 350 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 12 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 300 mmH = 350 mmt = 12 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 300 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = −30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 6 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 125 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 808,4 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/70000 = 0,0008084 = 808,4 µε

Antwoord

ε = 808,4 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 23,15 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·706858/863938 = 65455 N

Spanning

σ₂ = 65455/2827 = 23,15 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 23,15 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 26,05 GPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,68·π/180 = 0,02932 rad

Glijdingsmodulus

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(15708·0,02932) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Antwoord

G = 26,05 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 38,02 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter op sterkte

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,02 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(30,79, 38,02) = 38,02 mm

Antwoord

d = 38,02 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 50 kN, R₂ = 55 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 88, M_C = 152, M_D = 192, M_E = 208 kN·m, M_F = 110, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 208 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 47,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 8·5·2,5

R_B = 137,5/5 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 27,5 = 37,5 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 37,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 47,25 kN·m

Antwoord

M_x = 47,25 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 135,3 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 276 mm, h = 326 mm

A = BH − bh = 300·350 − 276·326 = 15024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,75 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(2,75 × 10⁸/15024) = 135,3 mm

Antwoord

r = 135,3 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 42,22 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

lijf: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·227,5 + 3520·110)/7120 = 169,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·15³/12 + 3600·(227,5 − 169,4)² = 1,222 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·220³/12 + 3520·(110 − 169,4)² = 2,662 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,222 × 10⁷ + 2,662 × 10⁷ = 3,884 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 235 − 169,4 = 65,59 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·65,59/3,884 × 10⁷ = 42,22 MPa

Antwoord

σ_boven = 42,22 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 52,2 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((90 − 120)/2)² + 50²) = 52,2 MPa

Antwoord

τ_max = 52,2 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,206

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 35 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 103 MPa, σ₂ = −33,01 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 136 MPa

n = 300/136 = 2,206

Antwoord

n = 2,206

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 1,376 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 1,376 mm

Antwoord

δ = 1,376 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 11,25 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11,25 kN

Antwoord

R_B = 11,25 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 7,52 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1750² = 7520 N = 7,52 kN

Antwoord

P_cr = 7,52 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 126,7 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 126,7 mm

Antwoord

d = 126,7 mm

Controle: de slankheid KL/r is 315,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials