Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 75 kNdeel 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1800 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 12 m45 kN @ 8 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 40 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 19 kNL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,05305 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·400/6,032 × 10⁸ = 0,05305 mm

Antwoord

δ = 0,05305 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 663,1 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 663,1 MPa

Antwoord

σ_max = 663,1 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 4,274 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Antwoord

φ = 4,274°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 6,356 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/751193 = 6,356 MPa

Antwoord

τ_max = 6,356 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 43,5 kN, R₂ = 43,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 75, M_C = 126, M_D = 153 kN·m, M_E = 126, M_F = 75, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 153 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 10 m)

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 29 kN, R₂ = 126 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 46, M_C = 68, M_D = 66, M_E = 40, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −100 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 22,75 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

lijf: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·230 + 1760·110)/4560 = 183,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·20³/12 + 2800·(230 − 183,7)² = 6,1 × 10⁶ mm⁴

lijf: 8·220³/12 + 1760·(110 − 183,7)² = 1,665 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,1 × 10⁶ + 1,665 × 10⁷ = 2,275 × 10⁷ mm⁴ = 22,75 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 22,75 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 266,7 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

lijf: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·155 + 2800·70)/10000 = 131,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·30³/12 + 7200·(155 − 131,2)² = 4,618 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·140³/12 + 2800·(70 − 131,2)² = 1,506 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,618 × 10⁶ + 1,506 × 10⁷ = 1,968 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 131,2 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·131,2/1,968 × 10⁷ = 266,7 MPa

Antwoord

σ_onder = 266,7 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −45 °

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 80 − 80) = −90°

Hoek op het element

θ_p = −45°

Antwoord

θ_p = −45°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 138,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 30 MPa, R = 78,1 MPa

σ₁ = 108,1 MPa, σ₂ = −48,1 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(108,1² − 108,1·(−48,1) + (−48,1)²) = 138,6 MPa

Antwoord

σ_vM = 138,6 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 11,41 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 11,41 mm

Antwoord

δ_max = 11,41 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 58,72 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 29,36 mm

Tel beide lasten op

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 58,72 mm

Antwoord

δ_max = 58,72 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 24,67 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24,67 kN

Antwoord

P_cr = 24,67 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 111 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Antwoord

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials