Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 25 kNdeel 1: Ø40 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,8 m draagt een wringend moment van 200 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 75 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 7 mP₁ = 60 kN op 3,5 mP₂ = 20 kN op 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 7 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 25 kN op 7 mw = 6 kN/m van 0 tot 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 200 × 18 mm, een lijf van 240 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 240 × 14 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 200 × 18 mmlijf: 12 × 240 mmonderflens: 240 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 5 mP = 60 kN op 2,5 m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 8526 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/70000 = 0,008526 = 8526 µε

Antwoord

ε = 8526 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 79,58 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 79,58 MPa

Antwoord

σ_max = 79,58 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 39,34 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(39000·0,01745) = 235060 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 39,34 mm

Antwoord

d = 39,34 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 250 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·20/190984 = 250 MPa

Antwoord

τ_max = 250 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 75,83 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3,5 + 20·7

R_B = 350/6 = 58,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 58,33 = 21,67 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·3,5 = 21,67·3,5 = 75,83 kN·m

Antwoord

M_x = 75,83 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 42,88 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 6·8·4

R_B = 367/8 = 45,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 45,88 = 27,13 kN

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 27,13·7 − 6·7·3,5 = 42,88 kN·m

Antwoord

M_x = 42,88 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 91,77 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

lijf: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·275 + 4680·130)/13680 = 225,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·30³/12 + 9000·(275 − 225,4)² = 2,282 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·260³/12 + 4680·(130 − 225,4)² = 6,895 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,282 × 10⁷ + 6,895 × 10⁷ = 9,177 × 10⁷ mm⁴ = 91,77 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 91,77 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 127,9 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 3600 mm², y = 263 mm

lijf: A = 2880 mm², y = 134 mm

onderflens: A = 3360 mm², y = 7 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3600·263 + 2880·134 + 3360·7)/9840 = 137,8 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 200·18³/12 + 3600·125,2² = 5,65 × 10⁷ mm⁴

lijf: 12·240³/12 + 2880·3,829² = 1,387 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 240·14³/12 + 3360·130,8² = 5,757 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,65 × 10⁷ + 1,387 × 10⁷ + 5,757 × 10⁷

I_x = 1,279 × 10⁸ mm⁴ = 127,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 127,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −29 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 100 − 50) = −57,99°

Hoek op het element

θ_p = −29°

Antwoord

θ_p = −29°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −35 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −35·1 + −40·0 = −35 MPa

Antwoord

τ_θ = −35 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,003543 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,003543 rad

Antwoord

θ_A = 0,003543 rad

Dat is 0,203°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 56,25 kN·m

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). Haal bij een statisch onbepaalde balk een overtollige oplegging weg en eis dat de doorbuiging daar nul is (vormveranderingsvoorwaarde).

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Antwoord

M_A = 56,25 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 16,82 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Antwoord

P_cr = 16,82 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 12,69 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/7,5 = 233,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Antwoord

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sterkteleer: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Torsie van assen

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Methode

Doorbuiging van de balk

Knik van kolommen

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Spanning

Rek (wet van Hooke)

Antwoord

Dezelfde kracht in beide delen

Grootste spanning

Antwoord

Benodigd polair traagheidsmoment

Diameter

Antwoord

Koppel

Polair traagheidsmoment

Maximale schuifspanning

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Snijd bij x = 7 m en houd het linkerdeel over

Antwoord

Verdeel in twee rechthoeken

Zwaartepunt

Stelling van Steiner

Antwoord

Verdeel in drie rechthoeken

Zwaartepunt

Stelling van Steiner

Antwoord

Hoek op de cirkel

Hoek op het element

Antwoord

Transformatieformule

Antwoord

Consistente eenheden

Eindhoekverdraaiing

Antwoord

Haal de steunoplegging weg

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

Moment bij de inklemming

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Kniklengte

Kritieke belasting

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Traagheidsstraal en slankheid

Kritieke spanning

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over