Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 30 mmStaal1,5 mP = 85 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 85 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
50 kN12600 mm400 mmØ30Ø60σ2​ = ?

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ2 in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mφ = ?

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Td = ?

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 300 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 50 kNP2​ = 70 kNAB1,5 m3 m1,5 m

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 6 mP1 = 50 kN op 1,5 mP2 = 70 kN op 4,5 m
Mmax = kN·m
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 5 kN/mP = 20 kNABdoorsnede9 m1 m

Vind het buigend moment Mx in de doorsnede x = 9 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 20 kN op 9 mw = 5 kN/m van 0 tot 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
150 mm300 mm180 mmØ60xIx​ = ?

Een plaat van 150 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 180 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
200201608xM = 25 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 160 mmM = 25 kN·m
σonder = MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −80σy​ = −40τxy​ = −50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = −80 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = 60σy​ = 60τxy​ = −30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σx = 60 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 12 kN/mδL = 4 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δmax, in het midden.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (staal)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 6 m40 × 100 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 3 md = 30 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,9019 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/200000 = 0,0006013 = 601,3 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0006013·1500 mm = 0,9019 mm

Antwoord

δ = 0,9019 mm
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ2 = 13,26 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Aandeel van segment 2

F2 = 50000·706858/942478 = 37500 N

Spanning

σ2 = 37500/2827 = 13,26 MPa (druk)

Antwoord

σ2 = 13,26 MPa
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 10,39 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·79522) = 0,1814 rad
φ = 0,1814·180/π = 10,39°

Antwoord

φ = 10,39°
4.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,21 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Antwoord

d = 31,21 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 97,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣMA = 0: RB·6 = 50·1,5 + 70·4,5
RB = 390/6 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 65 = 55 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P1: M = RA·1,5 = 55·1,5 = 82,5 kN·m
onder P2: M = RB·1,5 = 65·1,5 = 97,5 kN·m

Grootste waarde

Mmax = 97,5 kN·m (onder P2)

Antwoord

Mmax = 97,5 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mx = 40,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·9 + 5·10·5
RB = 430/10 = 43 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 43 = 27 kN
w = 5 kN/mP = 20 kNABRA​ = 27RB​ = 43doorsnede9 m1 m

Snijd bij x = 9 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = RA·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)
Mx = 27·9 − 5·9·4,5 = 40,5 kN·m

Antwoord

Mx = 40,5 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (45000·150 − 2827·180)/(45000 − 2827) = 148 mm

Volle plaat om ȳ

150·300³/12 + 45000·2,011² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·32,01² = 3,534 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 334,1 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σonder = 345,6 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
lijf: Aw = 8·160 = 1280 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·170 + 1280·80)/5280 = 148,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·20³/12 + 4000·(170 − 148,2)² = 2,037 × 10⁶ mm⁴
lijf: 8·160³/12 + 1280·(80 − 148,2)² = 8,681 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,037 × 10⁶ + 8,681 × 10⁶ = 1,072 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 148,2 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·148,2/1,072 × 10⁷ = 345,6 MPa

Antwoord

σonder = 345,6 MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = −55,9 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−50, −80 − −40) = −111,8°

Hoek op het element

θp = −55,9°

Antwoord

θp = −55,9°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σθ = 85,98 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

σθ = 60 + 0·0,5 + −30·−0,866 = 85,98 MPa

Antwoord

σθ = 85,98 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 3,509 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 3,509 mm

Antwoord

δmax = 3,509 mm
12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: Ireq = 1,582 × 10⁶ mm⁴

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·200000·4,167) = 1,582 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,582 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ireq = 1,582 × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 29,24 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29,24 kN

Antwoord

Pcr = 29,24 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 17,27 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials