Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 200 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 200 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 750 N·m werkt in B, op 0,8 m van A, en een wringend moment van 2000 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 3 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0,8 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 5,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 10 kN/m van 0 tot 6 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 50 kN op 1,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 130 mm en binnendiameter d = 110 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 130 mmd = 110 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 15 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,09986 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 200000·300/6,008 × 10⁸ = 0,09986 mm

Antwoord

δ = 0,09986 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 398,2 kN

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0007143) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·6,637 × 10⁸ = 398197 N = 398,2 kN

Antwoord

P_max = 398,2 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,437 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Antwoord

φ = 1,437°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 9,571 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 750 = 2750 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2,75 × 10⁶·800/(80000·613592) = 0,04482 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·3000/(80000·613592) = 0,1222 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,04482 + 0,1222 = 0,167 rad → |φ_C| = 9,571°

Antwoord

φ_C = 9,571°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = −25 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Snijd bij x = 5,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 30 − 10·5,5 = −25 kN

Antwoord

V_x = −25 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 76,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1,5 + 6·6·3

R_B = 183/6 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 86 − 30,5 = 55,5 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 55,5·1,5 − 6·1,5·0,75 = 76,5 kN·m

Antwoord

M_x = 76,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 42,57 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 3770 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,833 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(6,833 × 10⁶/3770) = 42,57 mm

Antwoord

r = 42,57 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 21,98 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

lijf: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·192,5 + 3240·90)/9740 = 158,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·25³/12 + 6500·(192,5 − 158,4)² = 7,895 × 10⁶ mm⁴

lijf: 18·180³/12 + 3240·(90 − 158,4)² = 2,391 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,895 × 10⁶ + 2,391 × 10⁷ = 3,18 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 205 − 158,4 = 46,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·46,6/3,18 × 10⁷ = 21,98 MPa

Antwoord

σ_boven = 21,98 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 80,78 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((100 − −50)/2)² + 30²) = 80,78 MPa

Antwoord

τ_max = 80,78 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 2,07 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + 30·0,342 + −30·0,9397 = 2,07 MPa

Antwoord

σ_θ = 2,07 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 38,57 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 4·6000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 38,57 mm

Antwoord

δ = 38,57 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 7,5 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Antwoord

R_B = 7,5 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 48,83 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Antwoord

P_cr = 48,83 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,896 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials