Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 85 kNdeel 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 53 mm, lengte 1,2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 2000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 10 kW over bij 750 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,75° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

55 kN @ 8 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 7 mw = 4 kN/m van 0 tot 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 150 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 144 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 150 × 18 mm, een lijf van 340 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 250 × 16 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 150 × 18 mmlijf: 8 × 340 mmonderflens: 250 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 2 m vanaf oplegging B. Vind de maximale doorbuiging δ_max van de balk.

P = 8 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 125 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 560,2 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 112/200000 = 0,0005602 = 560,2 µε

Antwoord

ε = 560,2 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,754 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·2000/70000 = 4,947 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·500/117000 = 1,807 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,754 mm

Antwoord

δ = 6,754 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,512 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(39000·2,332 × 10⁶) = 0,02639 rad

φ = 0,02639·180/π = 1,512°

Antwoord

φ = 1,512°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 33,36 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 33,36 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(25,31, 33,36) = 33,36 mm

Antwoord

d = 33,36 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 45 kN, R₂ = 50 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 140, M_D = 180, M_E = 200 kN·m, M_F = 100, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 200 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 17,01 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·7·3,5

R_B = 98/6 = 16,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 16,33 = 11,67 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,67/4 = 2,917 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,67²/(2·4) = 17,01 kN·m

Antwoord

M_max = 17,01 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·120 − 1257·144)/(36000 − 1257) = 119,1 mm

Volle plaat om ȳ

150·240³/12 + 36000·0,8681² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24,87² = 0,9028 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 234,1 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 2700 mm², y = 365 mm

lijf: A = 2720 mm², y = 186 mm

onderflens: A = 4000 mm², y = 8 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2700·365 + 2720·186 + 4000·8)/9420 = 161,7 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 150·18³/12 + 2700·203,3² = 1,116 × 10⁸ mm⁴

lijf: 8·340³/12 + 2720·24,28² = 2,781 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 250·16³/12 + 4000·153,7² = 9,461 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,116 × 10⁸ + 2,781 × 10⁷ + 9,461 × 10⁷

I_x = 2,341 × 10⁸ mm⁴ = 234,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 234,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 20,3 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 110 − −30) = 40,6°

Hoek op het element

θ_p = 20,3°

Antwoord

θ_p = 20,3°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −14,09 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 0 + −10·0,6428 + −10·0,766 = −14,09 MPa

Antwoord

σ_θ = −14,09 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 46,24 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 46,24 mm

Antwoord

δ_max = 46,24 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 4,295 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Plaats van het maximum

De hoekverdraaiing in het langere deel gelijk aan nul stellen geeft de plaats.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Maximale doorbuiging

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,295 mm

Antwoord

δ_max = 4,295 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 77,24 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Antwoord

P_cr = 77,24 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 47,38 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 47,38 mm

Antwoord

d = 47,38 mm

Controle: de slankheid KL/r is 105,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials