Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø35 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 15 kW overbrengen bij 750 rpm. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 2 m25 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 45 kN op 1,5 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 240 mm, buitenhoogte H = 250 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 16 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 240 mmH = 250 mmt = 16 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 170 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 440 mm en een lijf van 14 mm dik. Het draagt een buigend moment van 100 kN·m om de as x. Vind de grootte van de maximale buigspanning σ_max in de doorsnede.

B = 170 mmH = 440 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 45 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 45 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 850,2 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/117000 = 0,0008502 = 850,2 µε

Antwoord

ε = 850,2 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 17,29 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 98,74 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98,74·1000/200000 = 0,4937 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·2000/100000 = 16,8 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 17,29 mm

Antwoord

δ = 17,29 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,197 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·613592) = 0,02089 rad

φ = 0,02089·180/π = 1,197°

Antwoord

φ = 1,197°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 25,75 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·75·0,7599)) = 25,75 mm

d_i = 0,7·25,75 = 18,02 mm

Antwoord

d_o = 25,75 mm

Een massieve as zou d = 23,49 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 108,3 kN·m, M_C = 96,67, M_D = 85, M_E = 73,33, M_F = 61,67, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = 108,3 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 73,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 10·5·2,5

R_B = 192,5/5 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 38,5 = 56,5 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 56,5·1,5 − 10·1,5·0,75 = 73,5 kN·m

Antwoord

M_x = 73,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 95,23 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 208 mm, h = 218 mm

A = BH − bh = 240·250 − 208·218 = 14656 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,329 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,329 × 10⁸/14656) = 95,23 mm

Antwoord

r = 95,23 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_max = 58,7 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 440 − 2·20 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·440³ − 156·400³)/12

I_x = 3,748 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 220 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·220/3,748 × 10⁸ = 58,7 MPa

Antwoord

σ_max = 58,7 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −76,72 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 70 − 110) = −153,4°

Hoek op het element

θ_p = −76,72°

Antwoord

θ_p = −76,72°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 68,62 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 55 + −35·0,1736 + 20·0,9848 = 68,62 MPa

Antwoord

σ_θ = 68,62 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 22,98 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 22,98 mm

Antwoord

δ = 22,98 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 116,6 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/4200² = 116563 N = 116,6 kN

Antwoord

P_cr = 116,6 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 43,9 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,9 mm

Antwoord

d = 43,9 mm

Controle: de slankheid KL/r is 182,2, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials