Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 80 kNdeel 1: Ø40 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 3000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 4 m5 kN/m, 2–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 4,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 35 kN op 4,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 150 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/250. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 150 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 58,9 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/4,244 × 10⁻⁶ = 58905 N = 58,9 kN

Antwoord

P = 58,9 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 707,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 707,4 MPa

Antwoord

σ_max = 707,4 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 51,18 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0,7599)) = 51,18 mm

d_i = 0,7·51,18 = 35,82 mm

Antwoord

d_o = 51,18 mm

Een massieve as zou d = 46,7 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 27,26 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Antwoord

d = 27,26 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 60,83 kN, R₂ = 49,17 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 121,7, M_C = 233,3 kN·m, M_D = 205, M_E = 156,7, M_F = 88,33, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 233,3 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 79,88 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4,5 + 12·6·3

R_B = 373,5/6 = 62,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 107 − 62,25 = 44,75 kN

Snijd bij x = 4,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 44,75·4,5 − 12·4,5·2,25 = 79,88 kN·m

Antwoord

M_x = 79,88 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 102,7 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

lijf: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 6000·150)/9600 = 210 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·20³/12 + 3600·(310 − 210)² = 3,612 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·300³/12 + 6000·(150 − 210)² = 6,66 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,612 × 10⁷ + 6,66 × 10⁷ = 1,027 × 10⁸ mm⁴ = 102,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 102,7 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 34,6 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

lijf: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·225 + 4400·110)/5400 = 131,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 100·10³/12 + 1000·(225 − 131,3)² = 8,789 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·220³/12 + 4400·(110 − 131,3)² = 1,974 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,789 × 10⁶ + 1,974 × 10⁷ = 2,853 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 230 − 131,3 = 98,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·98,7/2,853 × 10⁷ = 34,6 MPa

Antwoord

σ_boven = 34,6 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 31,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((120 − 100)/2)² + −30²) = 31,62 MPa

Antwoord

τ_max = 31,62 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −14,46 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 75 + 75·−0,5 + −60·0,866 = −14,46 MPa

Antwoord

σ_θ = −14,46 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 20,35 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 20,35 mm

Antwoord

δ = 20,35 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 227,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·20) = 1,48 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,48 × 10⁸/150)^1/3 = 227,9 mm

Antwoord

h_req = 227,9 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 7,311 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7,311 kN

Antwoord

P_cr = 7,311 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 15,86 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·700²/(π³·200000))^(1/4) = 15,86 mm

Antwoord

d = 15,86 mm

Controle: de slankheid KL/r is 176,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials