Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 5 kW overbrengen bij 3000 rpm. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 80 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 5 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 6 m12 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 5 mw = 24 kN/m van 0 tot 4 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 168 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 40 MPa op trek en 150 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Het element wordt 50° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 350 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 50 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 50 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 544,1 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Antwoord

ε = 544,1 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 18,67 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/100000 = 0,672 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1500/70000 = 18 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 18,67 mm

Antwoord

δ = 18,67 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 22,41 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·38350) = 0,3911 rad

φ = 0,3911·180/π = 22,41°

Antwoord

φ = 22,41°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 11,97 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 15,92 N·m = 15915 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·15915/(π·80·0,5904)) = 11,97 mm

d_i = 0,8·11,97 = 9,578 mm

Antwoord

d_o = 11,97 mm

Een massieve as zou d = 10,04 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 95 kN, R₂ = 75 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 166, M_C = 284, M_D = 354 kN·m, M_E = 276, M_F = 150, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 354 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 2,4 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·4·2

R_B = 192/5 = 38,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 38,4 = 57,6 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 57,6/24 = 2,4 m

Antwoord

x₀ = 2,4 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (28800·120 − 706,9·168)/(28800 − 706,9) = 118,8 mm

Volle plaat om ȳ

120·240³/12 + 28800·1,208² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·49,21² = 1,751 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 136,5 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 7,132 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (5200·270 + 2080·130)/7280 = 230 mm

bovenrand: c = 280 − 230 = 50 mm

Traagheidsmoment

I = 260·20³/12 + 5200·40² + 8·260³/12 + 2080·100² = 4,101 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 150·4,101 × 10⁷/50 = 123 kN·m

onderrand: M = 40·4,101 × 10⁷/230 = 7,132 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 7,132 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 7,132 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 55,97 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 100 − 30·(−0,1736) − 50·0,9848 = 55,97 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 144 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 55,97 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,725

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = −45 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 24,46 MPa, σ₂ = −114,5 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(24,46² − 24,46·(−114,5) + (−114,5)²) = 128,5 MPa

n = 350/128,5 = 2,725

Antwoord

n = 2,725

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,00381 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 12·4000³/(24·8,4 × 10¹²) = 0,00381 rad

Antwoord

θ_A = 0,00381 rad

Dat is 0,2183°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 190,4 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·2,876 × 10⁷/50)^1/3 = 190,4 mm

Antwoord

h_req = 190,4 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 151,4 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Antwoord

P_cr = 151,4 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials