Axiale spanning en rek
- Normaalspanning
- σ = F/A
- Rek
- ε = ΔL/L
- Wet van Hooke
- σ = E·ε
- Verlenging
- ΔL = FL/(EA)
- Thermische rek
- εT = α·ΔT
Sterkteleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Torsie van assen
- Schuifspanning
- τ = T·r/J
- Massieve as
- J = πd⁴/32
- Holle as
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Wringhoek
- φ = TL/(GJ)
- Vermogen
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
- Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
- Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
- Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.
Dwarskracht en buigend moment
- Dwarskracht en moment
- V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
- Buigspanning
- σ = M·y/I
- Rechthoek
- I = bh³/12
- Weerstandsmoment
- W = I/ymax
- Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
- Mmax = wL²/8
Methode
- Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
- Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
- Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
- Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.
Zwaartepunt en traagheidsmoment
- Zwaartepunt
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rechthoek
- I = bh³/12
- Stelling van Steiner
- I = Ic + A·d²
- Samengestelde doorsnede
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
- Middelpunt
- C = (σx + σy)/2
- Straal
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hoofdspanningen
- σ1,2 = C ± R
- Hoofdrichting
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Schuin vlak
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
- Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Doorbuiging van de balk
- Puntlast in het midden
- δ = PL³/(48EI)
- Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Uitkraging, eindlast
- δ = PL³/(3EI)
- Uitkraging, gelijkmatige belasting
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superpositie
- δ = δ1 + δ2
Knik van kolommen
- Eulerse kniklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Kniklengtefactor
- K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
- Kritieke spanning
- σcr = Pcr/A
- Slankheid
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Oefenopgaven
1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).
P = 110 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 50 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.
staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPabuis: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsie van assenGemiddeld
Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.
T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
20 kN @ 8 m4 kN/m, 4–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.
50 kN @ 6 m55 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 96 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.
b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 110 × 10 mm, een lijf van 220 mm hoog en 10 mm dik, en een onderflens van 210 × 22 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment Ix om de horizontale as x door het zwaartepunt.
bovenflens: 110 × 10 mmlijf: 10 × 220 mmonderflens: 210 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
In een punt is σₓ = −40 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Vind de hoek θs, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).
σx = −40 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.
σx = 90 MPaσy = 30 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.
w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment Ireq dat aan deze eis voldoet.
w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (staal)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommenGemiddeld
Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 110 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.
P = 110 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
3Oplossingen
1.Axiale spanning en rek
Antwoord: ε = 7816 µε
Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).
Spanning
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa
Rek (wet van Hooke)
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 547,1/70000 = 0,007816 = 7816 µε
Antwoord
ε = 7816 µε
2.Axiale spanning en rek
Antwoord: Pmax = 408,8 kN
Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.
Oppervlakken
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
Gecombineerde axiale stijfheid
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N
Bepalende rek
ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (brons)
Grootste belasting
Pmax = 0,0004545·8,993 × 10⁸ = 408764 N = 408,8 kN
Antwoord
Pmax = 408,8 kN
3.Torsie van assen
Antwoord: φ = 16,63 °
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Polair traagheidsmoment
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Wringhoek
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad
φ = 0,2902·180/π = 16,63°
Antwoord
φ = 16,63°
4.Torsie van assen
Antwoord: d = 22,36 mm
Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.
Koppel
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m
Diameter uit de toelaatbare spanning
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·60)) = 22,36 mm
Antwoord
d = 22,36 mm
In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.
5.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: E (x = 8 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 16,67 kN, R2 = 27,33 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 33,33, MC = 66,67, MD = 92, ME = 101,3 kN·m, MF = 54,67, MG = 0
Antwoord
Markering E: ME = 101,3 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment
Antwoord: F (x = 5 m)
Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).
Oplegreacties
Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.
R1 = 23 kN, R2 = 82 kN
Buigend moment bij elke markering
Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.
MA = 0, MB = 23, MC = 46, MD = 14, ME = −18, MF = −50 kN·m, MG = 0
Antwoord
Markering F: MF = −50 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴
Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.
Zwaartepunt
ȳ = (24000·120 − 2827·96)/(24000 − 2827) = 123,2 mm
Volle plaat om ȳ
100·240³/12 + 24000·−3,205² = 115,4 × 10⁶ mm⁴
Gat om ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−27,21² = 2,729 × 10⁶ mm⁴
Trek af
Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 112,7 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment
Antwoord: Ix = 67,64 × 10⁶ mm⁴
Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.
Verdeel in drie rechthoeken
Meet elke y vanaf de onderrand.
bovenflens: A = 1100 mm², y = 247 mm
lijf: A = 2200 mm², y = 132 mm
onderflens: A = 4620 mm², y = 11 mm
Zwaartepunt
ȳ = (1100·247 + 2200·132 + 4620·11)/7920 = 77,39 mm
Stelling van Steiner
bovenflens: 110·10³/12 + 1100·169,6² = 3,165 × 10⁷ mm⁴
lijf: 10·220³/12 + 2200·54,61² = 1,543 × 10⁷ mm⁴
onderflens: 210·22³/12 + 4620·66,39² = 2,055 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,165 × 10⁷ + 1,543 × 10⁷ + 2,055 × 10⁷
Ix = 6,764 × 10⁷ mm⁴ = 67,64 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ix = 67,64 × 10⁶ mm⁴
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: θs = 3,563 °
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoek op de cirkel
Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.
cos 2θs = 40/40,31 = 0,9923, sin 2θs = −(−5)/40,31 = 0,124
2θs = atan2(5, 40) = 7,125°
Hoek op het element
θs = 3,563°
controle: θs − θp = 3,563 − 48,56 = −45°
Antwoord
θs = 3,563°
Positieve hoeken zijn tegen de klok in.
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie
Antwoord: σθ = 31,7 MPa
Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Transformatieformule
σθ = 60 + 30·0,5 + 50·−0,866 = 31,7 MPa
Antwoord
σθ = 31,7 MPa
11.Doorbuiging van de balk
Antwoord: δ = 11,91 mm
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Consistente eenheden
Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²
Doorbuiging
δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 11,91 mm
Antwoord
δ = 11,91 mm
12.Doorbuiging van de balk
Antwoord: Ireq = 6 × 10⁶ mm⁴
Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).
Doorbuigingseis
δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm
Benodigd traagheidsmoment
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4000⁴/(384·200000·11,11) = 6 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6 × 10⁶ mm⁴
Antwoord
Ireq = 6 × 10⁶ mm⁴
13.Knik van kolommen
Antwoord: Pcr = 197,4 kN
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Kleinste traagheidsmoment
Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
Kniklengte
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Kritieke belasting
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1500² = 197392 N = 197,4 kN
Antwoord
Pcr = 197,4 kN
14.Knik van kolommen
Antwoord: d = 61,81 mm
Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.
Benodigde kritieke belasting
Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
Los op naar de diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61,81 mm
Antwoord
d = 61,81 mm
Controle: de slankheid KL/r is 97,07, dus de kolom is slank en Euler geldt.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials