Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 60 mm, lengte 400 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van staal (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 56 mm, lengte 2,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 500 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 20 kW over bij 1450 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 55 kN op 1 mw = 3 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 170 mm en binnendiameter d = 142 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 170 mmd = 142 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 140 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 8 mm dik. Het draagt een buigend moment van 120 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 140 mmH = 460 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 50 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 50 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 15 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 52,08 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/5,76 × 10⁻⁶ = 52084 N = 52,08 kN

Antwoord

P = 52,08 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 18,7 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·777544/882264 = 52878 N

Spanning

σ₂ = 52878/2827 = 18,7 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 18,7 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,4182 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2500/(80000·2,141 × 10⁶) = 0,007299 rad

φ = 0,007299·180/π = 0,4182°

Antwoord

φ = 0,4182°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 52,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diameter op sterkte

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·60)) = 22,36 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 52,99 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(22,36, 52,99) = 52,99 mm

Antwoord

d = 52,99 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 50 kN, R₂ = 70 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 80, M_D = 105, M_E = 120 kN·m, M_F = 65, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 120 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 45,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 3·4·2

R_B = 79/4 = 19,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 19,75 = 47,25 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 47,25·1 − 3·1·0,5 = 45,75 kN·m

Antwoord

M_x = 45,75 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 55,38 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 6861 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,104 × 10⁷ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(2,104 × 10⁷/6861) = 55,38 mm

Antwoord

r = 55,38 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 78,6 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·20 = 420 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·460³ − 132·420³)/12

I_x = 3,206 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 230 − 20 = 210 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·210/3,206 × 10⁸ = 78,6 MPa

Antwoord

σ_j = 78,6 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 22,36 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((30 − 70)/2)² + 10²) = 22,36 MPa

Antwoord

τ_max = 22,36 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 93,11 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 60 + −20·0,6428 + 60·0,766 = 93,11 MPa

Antwoord

σ_θ = 93,11 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 25,25 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 25,25 mm

Antwoord

δ_max = 25,25 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 163,7 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9,722) = 1,827 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,827 × 10⁷/50)^1/3 = 163,7 mm

Antwoord

h_req = 163,7 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 59,69 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1250² = 59691 N = 59,69 kN

Antwoord

P_cr = 59,69 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 37,3 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 37,3 mm

Antwoord

d = 37,3 mm

Controle: de slankheid KL/r is 268,1, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials