Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,3 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 90 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 100 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,6 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 10 kW over bij 1000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 1 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 5 kN/m van 0 tot 6 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m

M_B = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 140 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 40 MPa op trek en 100 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 250 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 90 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 35 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 35 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 36,22 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2,17 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,3/8,282 × 10⁻⁶ = 36224 N = 36,22 kN

Antwoord

P = 36,22 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 11,43 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183,3·1000/100000 = 1,833 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·1500/70000 = 9,592 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,43 mm

Antwoord

δ = 11,43 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 22,7 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,8704)) = 22,7 mm

d_i = 0,6·22,7 = 13,62 mm

Antwoord

d_o = 22,7 mm

Een massieve as zou d = 21,68 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 6,59 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/362265 = 6,59 MPa

Antwoord

τ_max = 6,59 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 3 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 42,5, M_C = 70, M_D = 97,5 kN·m, M_E = 65, M_F = 32,5, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 97,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −10 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·6·3

R_B = 90/4 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −5·2²/2 = −10 kN·m

Antwoord

M_B = −10 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1257·140)/(24000 − 1257) = 97,79 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·2,21² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·42,21² = 2,365 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 3,681 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (5400·155 + 1680·70)/7080 = 134,8 mm

bovenrand: c = 170 − 134,8 = 35,17 mm

Traagheidsmoment

I = 180·30³/12 + 5400·20,17² + 12·140³/12 + 1680·64,83² = 1,241 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 100·1,241 × 10⁷/35,17 = 35,28 kN·m

onderrand: M = 40·1,241 × 10⁷/134,8 = 3,681 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 3,681 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 3,681 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 68,28 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 80 MPa, R = √((−40)² + (−40)²) = 56,57 MPa

σ₁ = 136,6 MPa, σ₂ = 23,43 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(113,1, 136,6, 23,43)/2 = 68,28 MPa

Antwoord

τ_abs = 68,28 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,5

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 50 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(100² − 100·0 + 0²) = 100 MPa

n = 250/100 = 2,5

Antwoord

n = 2,5

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 38,1 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 38,1 mm

Antwoord

δ_max = 38,1 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 134,6 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·11,67) = 1,523 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,523 × 10⁷/75)^1/3 = 134,6 mm

Antwoord

h_req = 134,6 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 95,49 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1050² = 95488 N = 95,49 kN

Antwoord

P_cr = 95,49 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 66,32 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 66,32 mm

Antwoord

d = 66,32 mm

Controle: de slankheid KL/r is 150,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials