Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 200 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1500 N·m werkt in B, op 2 m van A, en een wringend moment van 250 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 2,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_A bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 2,5 mP = 15 kN op 2,5 mw = 8 kN/m van 0 tot 2,5 m

M_A = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 40 kN op 3 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 27 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 2 m vanaf oplegging B. Vind de maximale doorbuiging δ_max van de balk.

P = 10 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 10610 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1061/100000 = 0,01061 = 10610 µε

Antwoord

ε = 10610 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 17,89 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·1,178 × 10⁶/1,342 × 10⁶ = 35122 N

Spanning

σ₂ = 35122/1963 = 17,89 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 17,89 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 9,119 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(80000·15708) = 0,1592 rad

φ = 0,1592·180/π = 9,119°

Antwoord

φ = 9,119°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 5,088 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 1500 = −1250 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1,25 × 10⁶·2000/(39000·613592) = −0,1045 rad

φ_BC = 250000·1500/(39000·613592) = 0,01567 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = −0,1045 + 0,01567 = −0,0888 rad → |φ_C| = 5,088°

Antwoord

φ_C = 5,088°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_A = −62,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −15·2,5 = −37,5 kN·m

w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m

M_A = −37,5 − 25 = −62,5 kN·m

Antwoord

M_A = −62,5 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 48 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 12·4·2

R_B = 216/4 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 54 = 34 kN

Snijd bij x = 3 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 34·3 − 12·3·1,5 = 48 kN·m

Antwoord

M_x = 48 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 77,07 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

lijf: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·290 + 5040·140)/8240 = 198,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·20³/12 + 3200·(290 − 198,3)² = 2,704 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·280³/12 + 5040·(140 − 198,3)² = 5,003 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,704 × 10⁷ + 5,003 × 10⁷ = 7,707 × 10⁷ mm⁴ = 77,07 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 77,07 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 14,54 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

lijf: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·287,5 + 3920·140)/6920 = 203,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·15³/12 + 3000·(287,5 − 203,9)² = 2,1 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·280³/12 + 3920·(140 − 203,9)² = 4,164 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,1 × 10⁷ + 4,164 × 10⁷ = 6,264 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 295 − 203,9 = 91,05 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·91,05/6,264 × 10⁷ = 14,54 MPa

Antwoord

σ_boven = 14,54 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 96,05 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((90 − −60)/2)² + −60²) = 96,05 MPa

Antwoord

τ_max = 96,05 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 30,26 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 65 + 5·0,766 + 60·−0,6428 = 30,26 MPa

Antwoord

σ_θ = 30,26 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 1,741 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,5357 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0008036 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,741 mm

Antwoord

δ_B = 1,741 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 5,376 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Plaats van het maximum

De hoekverdraaiing in het langere deel gelijk aan nul stellen geeft de plaats.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Maximale doorbuiging

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,376 mm

Antwoord

δ_max = 5,376 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,768 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2,768 kN

Antwoord

P_cr = 2,768 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 21,93 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Antwoord

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials